Class 9 Math Solutions BD 2024 Edition
জাতীয় শিক্ষাক্রম ও পাঠ্যপুস্তক বোর্ড কর্তৃক জাতীয় শিক্ষাক্রম- ২০২২ অনুযায়ী প্রণীত এবং ২০২৪ শিক্ষাবর্ষ থেকে নবম শ্রেণির জন্য নির্ধারিত পাঠ্যপুস্তক গণিত
আমাদের কাছে অনেকেই অনুরোধ করেছেন গণিতের এডিটেবল ফাইলের জন্য। আমরা সবসময় পিডিএফ শেয়ার করে থাকি। অধিক অনুরোধের ফলে সিদ্ধান্ত নিয়েছি আমরা ডকুমেন্টস ফাইল শেয়ার করবো। আমাদের কাছে চকরির পরীক্ষার জন্য ও গণিত সমাধান এর ওয়ার্ড ফাইল পাবেন যা আপনি সম্পাদনা করে ব্যক্তিগত কাজে ব্যবহার করতে পারবেন।
যা যা থাকবে-
Ä Editable Docx File
Ä Font
Ä HD Images
মূল্য নিয়ে কিছু কথা-
আমাদের কাছ থেকে ফাইল কিনলে আমরা আপনাকে লাইফটাইম সাপোর্ট দিবো। যেহেতু আমাদের টীম সবসময় পিডিএফ নিয়ে কাজ করে সেহেতু সর্বদাই আমরা সেবা দিতে প্রস্তুত। একবার ফাইল কিনার পর যতবার আমরা আপডেট করবো ততবার আপনাকে ইমেইলে আপডেটগুলো বিনামূল্য দিয়ে যাবো। প্রতিটি শ্রেণির আলাদা আলাদা মূল্য নির্ধারিত করা। ৩য়-৫ম প্রতিটি শ্রেণির ফাইল মূল্য ২৯৯/- ৬ষ্ঠ-৯ম প্রতিটি শ্রেণির ফাইল মূল্য ৪৯৯/-
অনুগ্রহ করে দামাদামি করবেন না। আপনাকে অবশ্যই মিনিমাম ২টা শ্রেণির ফাইল অর্ডার করতে হবে।
এর চেয়ে অনেক কমদামে আপনি অন্যদের থেকে ডকুমেন্টস ফাইল পাবেন। কিন্তু আমরা আপনাকে সাবসময় সাপোর্টের নিশ্চয়তা দিচ্ছি। মূল্যের বিষয়ে আপত্তি থাকলে এড়িয়ে যাবেন।
যোগাযোগ-
WhatsApp:- 01300430768
Email:- raisulislamhridoy07@proton.me
ধন্যবাদ
গণিত সূচিপত্র
ফ্রি ভার্সনে কিছু ভুল থাকতে পারে। প্রিমিয়াম ভার্সন কিনে নিন।
একটা ইবুক তৈরি করতে প্রচুর শ্রম ও সময় দিতে হয়। আমাদের প্রায় সবগুলো ইবুকই বিনামূল্যে সরবরাহ করা হয়। এই ইবুকটি কিনে নিতে অনুরোধ করছি। আশাকরি আমাদের পরিশ্রমের মূল্যায়ন করবেন। একবার কিনে নিলে আজীবন আপডেট ভার্সন ফ্রিতে পাবেন। ইমেইল করুনঃ- এখানে ক্লিক করে।
এখানে সংযোজিত সকল তথ্য কে, কারা বা কারো দ্বারা সত্যায়িত বা প্রতিশ্রুতিপূর্ণ
নয় যেন তা ১০০% সঠিকতা বহন করতে বাধ্য হবে। এখানকার সকল তথ্য ব্যক্তিকে নিজ দ্বায়িত্তে
গ্রহন বা বর্জন করতে হবে, জিরো টু ইনফিনিটি কোন দায় বহন করবে না। কোন মতামত থাকলে
তা জানাতে পারবেন, অপনার মতামত সাদরে গ্রহণ করা হবে যদিও যেকোনো পরিবর্তন, পরিবর্ধন
বা সংশোধন একান্ত জিরো টু ইনফিনিটি দ্বারা সংরক্ষিত।
এই মর্মে, আমি ইবুকটি কিনে ব্যবহার করতে রাজি আছি।
Source: Draft Copy of NCTB
প্রথম অধ্যায় (অনুশীলনী অংশ)
শুভেচ্ছা মূল্যঃ-১৫০ টাকা । ০১৯৭৪৫৮১৬১১ বিকাশ পার্সোনাল।
প্রাত্যহিক
জীবনে সেট
প্রিয় শিক্ষার্থী, আমরা এই অংশে শুধুমাত্র প্রাত্যহিক জীবনে
সেট অধ্যায়ে প্রদত্ত অনুশীলনীর সমাধান প্রদান করেছি। পাঠ্য বইয়ের সমাধান এখানে দেয়া হয়েছে।
১। তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করো :
ক) A = {x ∈ N : –3 < x ≤ 5}
সমাধানঃ
ক) A = {x ∈ N : –3
< x ≤
5}
এখানে, N = {1, 2, 3, 4…………}
–3 < x ≤ 5 শর্ত অনুযায়ী মান 1,2,3,4,5
–3 < x ≤ 5 শর্ত পূরণ করা সংখ্যাগুলো হলোঃ 1,2,3,4,5
তাহলে, A={1,2,3,4,5} [Ans.]
খ) B = {x ∈ Z : x মৌলিক সংখ্যা এবং x2 ≤ 50}
সমাধানঃ
এখানে,
Z = পূর্ণ সংখ্যার সেট = {….-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5……}
মৌলিক সংখ্যাগুলো হলোঃ 2,3,5,7,11,13…….
এখন,
22 = 4 ≤
50
32 = 9 ≤
50
52 = 25 ≤
50
72 = 49 ≤
50
112 = 121
> 50
অতএব, B = {2,3,5,7} [Ans.]
গ) C = {x ∈ Z : x4 < 264}
সমাধানঃ
এখানে,
Z = পূর্ণ সংখ্যার সেট = {….-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5……}
এখন,
04 = 0
< 264
14 = 1
< 264
(-1)4 = 1 < 264
24 = 16
< 264
(-2)4 = 16
< 264
(3)4 = 81 <
264
(-3)4 = 81
< 264
44 = 256
< 264
(-4)4 = 256
< 264
54 = 625
> 264
(-5)4 = 625
> 264
অতএব, C = {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4} [Ans.]
২। সেট গঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ করো :
ক) A = {1, 3, 5,…,101}
সমাধানঃ
এখানে, A = {1, 3, 5,…,101}
অর্থাৎ, x এর মান সর্বনিন্ম 1 এবং সর্বোচ্চ 101 এবং এখানে সকল
সংখ্যা স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যা।
∴ A={x ∈ N
: x, স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যা যেখানে,
1≤x≤101}
[Ans.]
খ) B = {4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100}
সমাধানঃ
এখানে,
B = {4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100}
= {22,32,42,52,62,72,82,92,102}
তাহলে, x এর মানগুলো স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গ এবং এই সকল
স্বাভাবিক সংখ্যার সর্বনিন্ম মান 2 এবং সর্বোচ্চ মান 10.
∴ A={x ∈ N
: x, স্বাভাবিক সংখ্যার
বর্গ যেখানে, 2≤N≤10} [Ans.]
৩। যদি A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {0, 1, 3, 5,
6} এবং C = {1, 5, 6} হয়, তবে নিচের সেটগুলো নির্ণয় করো।
ক) A ∪ B
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {0, 1, 3, 5, 6}
∴ A ∪ B =
{1,2,3,4,5} ∪ {0,1,3,5,6}
= {0,1,2,3,4,5,6} [Ans.]
খ) A ∩ C
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
A = {1, 2, 3, 4, 5}, C = {1, 5, 6}
∴ A ∩ C = {1,2,3,4,5} ∩ {1, 5, 6}
= {1,5} [Ans.]
গ) B╲C
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
B = {0, 1, 3, 5, 6}, C = {1, 5, 6}
∴ B╲C = {0,
1, 3, 5, 6} ╲ {1, 5,
6}
= {0,3,} [Ans.]
ঘ) A ∪ (B ∩ C)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {0, 1, 3, 5, 6} এবং C = {1, 5, 6}
∴ B ∩ C
= {0, 1, 3, 5, 6} ∩ {1, 5, 6}
= {1,5,6}
∴ A ∪ (B ∩
C)
= {1, 2, 3, 4, 5} ∪
{1,5,6}
= {1,2,3,4,5,6} [Ans.]
ঙ) A ∩ (B ∪ C)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {0, 1, 3, 5, 6} এবং C = {1, 5, 6}
∴ B ∪ C
= {0, 1, 3, 5, 6} ∪ {1, 5,
6}
= {0,1,3,5,6}
∴ A ∩ (B ∪ C)
= {1, 2, 3, 4, 5} ∪
{0,1,3,5,6}
= {1,3,5} [Ans.]
৪। যদি U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A =
{1, 3, 5, 7}, B = {0, 2, 4, 6} এবং C = {3, 4, 5, 6, 7} হয়, তবে নিম্নলিখিত
ক্ষেত্রে সত্যতা যাচাই করো :
ক) (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {1, 3, 5, 7}, B ={0,
2, 4, 6} এবং C = {3, 4, 5, 6, 7}
এখন,
বামপক্ষ
= (A ∪ B)c
= U – (A ∪ B)
= U – ({1, 3, 5, 7} ∪ {0, 2, 4, 6})
= U – {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ,7}
= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} - {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
= {8, 9}
ডানপক্ষ
= Ac ∩ Bc
= (U –A) ∩ (U-B)
= ({0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – {1, 3, 5, 7}) ∩
({0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}-{0, 2, 4, 6})
= {0, 2, 4, 6, 8, 9} ∩ {1, 3, 5, 7, 8 ,9}
= {8, 9}
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [সত্যতা যাচাই করা হলো]
খ) (B ∩ C)c = Bc ∪ Cc
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {1, 3, 5, 7}, B =
{0, 2, 4, 6} এবং C = {3, 4, 5, 6, 7}
বামপক্ষ
= (B ∩ C)c
= U – (B ∩ C)
= U - ({0, 2, 4, 6} ∩ {3, 4, 5, 6, 7})
= U – {4,6}
= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} - {4,6}
= {0,1,2,3,5,7,8,9}
ডানপক্ষ
= Bc ∪ Cc
= (U-B) ∪ (U-C)
= ({0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}-{0, 2, 4, 6}) ∪ ({0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}-{3, 4, 5, 6, 7})
= {1,3,5,7,8,9} ∪
{0,1,2,8,9}
= {0,1,2,3,5,7,8,9}
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [সত্যতা যাচাই করা হলো]
গ) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
A = {1, 3, 5, 7}, B = {0, 2, 4, 6} এবং C = {3, 4, 5, 6, 7}
বামপক্ষ
= (A ∪ B) ∩
C
= ({1, 3, 5, 7} ∪ {0, 2,
4, 6}) ∩
{3, 4, 5, 6, 7}
= {0,1,2,3,4,5,6,7} ∩ {3, 4, 5, 6, 7}
= {3,4,5,6,7}
ডানপক্ষ
= (A ∩ C) ∪ (B ∩
C)
= ({1, 3, 5, 7} ∩ {3, 4, 5, 6, 7}) ∪ ({0,
2, 4, 6} ∩
{3, 4, 5, 6, 7})
= {3,5,7} ∪ {4,6}
= {3,4,5,6,7}
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [সত্যতা যাচাই করা হলো]
ঘ) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
A = {1, 3, 5, 7}, B = {0, 2, 4, 6} এবং C = {3, 4, 5, 6, 7}
বামপক্ষ
= (A ∩ B) ∪ C
= ({1, 3, 5, 7} ∩ {0, 2, 4, 6}) ∪ {3, 4,
5, 6, 7}
= ∅ ∪ {3, 4, 5, 6, 7}
= {3,4,5,6,7}
ডানপক্ষ
= (A ∪ C) ∩
(B ∪ C)
= ({1, 3, 5, 7} ∪ {3, 4,
5, 6, 7}) ∩
({0, 2, 4, 6} ∪ {3, 4, 5, 6, 7})
= {1,3,4,5,6,7} ∩ {0,2,3,4,5,6,7}
= {3,4,5,6,7}
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [সত্যতা যাচাই করা হলো]
৫। মান নির্ণয় করো:
ক) N ∩ 2N
খ) N ∩ A
গ) 2N ∩ P
যেখানে, N সকল স্বাভাবিক সংখ্যার সেট, 2N সকল ধনাত্মক জোড়
সংখ্যার সেট, A সকল বিজোড় সংখ্যার সেট, P সকল মৌলিক সংখ্যার সেট।
সমাধানঃ
প্রশ্নমতে,
N = {1,2,3,4,5,6……..}
2N = {2,4,6,8,10……}
A = {……-7,-5,-3,-1,1,3,5,7….}
P = {…..-3,-2,-1,0,1,2,3……}
তাহলে,
ক) N ∩ 2N
= {1,2,3,4,5,6……..} ∩ {2,4,6,8,10……}
= {2,4,6,8,10……} [Ans.]
খ) N ∩ A
= {1,2,3,4,5,6……..} ∩ {……-7,-5,-3,-1,1,3,5,7….}
= {1,3,5,7,………} [Ans.]
গ) 2N ∩ P
= {2,4,6,8,10……} ∩ {…..-3,-2,-1,0,1,2,3……}
= {2,4,6,8,10……} [Ans.]
৬। ধরি U সকল ত্রিভুজের সেট হয় এবং A সকল সমকোণী
ত্রিভুজের সেট। তাহলে সেট Ac বর্ণনা করো।
সমাধানঃ
প্রশ্নমতে,
U = সকল ত্রিভুজের সেট
A = সকল সমকোণী ত্রিভুজের সেট
= সেইসকল ত্রিভুজের সেট যেসকল ত্রিভুজের একটি কোণ সমকোণ
∴ Ac =
সেইসকল ত্রিভুজের সেট যেসকল ত্রিভুজের একটি কোণ সমকোণ নয়
= সকল সূক্ষ্মকোণী ও স্থূলকোণী ত্রিভুজের সেট।
৭। ভেন চিত্রের মাধ্যমে দেখাও যে, যে কোনো সেট A,
B, C এর জন্য
ক) (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc
সমাধানঃ
যে কোনো সেট A, B এর জন্য (A ∪ B)c ও Ac ∩
Bc এর ভেন চিত্র নিচে দেওয়া হলোঃ
অর্থাৎ, ভেনচিত্র হতে পাই, (A ∪ B)c = Ac ∩
Bc
খ) (B ∩ C)c = Bc ∪ Cc
সমাধানঃ
যে কোনো সেট B, C এর জন্য (B ∩ C)c ও
Bc ∪ Cc এর ভেন চিত্র
নিচে দেওয়া হলোঃ
অর্থাৎ, ভেনচিত্র হতে পাই, (B ∩ C)c =
Bc ∪ Cc
গ) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
সমাধানঃ
যে কোনো সেট A, B, C এর জন্য (A ∪ B) ∩ C ও (A ∩ C) ∪ (B ∩
C) এর ভেন চিত্র নিচে দেওয়া হলোঃ
অর্থাৎ, ভেনচিত্র হতে পাই, (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩
C)
ঘ) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
সমাধানঃ
যে কোনো সেট A, B, C এর জন্য (A ∩ B) ∪ C ও (A ∪ C) ∩
(B ∪ C) এর ভেন চিত্র নিচে দেওয়া হলোঃ
অর্থাৎ, ভেনচিত্র হতে পাই, (A ∩ B) ∪ C ও (A ∪ C) ∩
(B ∪ C)
৮। কোনো শ্রেণির 40 জন শিক্ষার্থীর মধ্যে 25 জন পাখি
পছন্দ করে এবং 15 জন বিড়াল পছন্দ করে। পাখি ও বিড়াল দুটি প্রাণীই পছন্দ করে এরূপ
শিক্ষার্থীর সংখ্যা 10 জন। কতজন শিক্ষার্থী পাখি ও বিড়াল কোনোটিই পছন্দ করে না তা
ভেন চিত্রের সাহায্যে নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
ভেন চিত্রে,
40 জন শিক্ষার্থীর সেট U আয়তক্ষেত্র দ্বারা নির্দেশ করি।
25 জন শিক্ষার্থী যারা পাখি পছন্দ করে তাদের সেট B
বৃত্তক্ষেত্র দ্বারা নির্দেশ করি।
15 জন শিক্ষার্থী যারা বিড়াল পছন্দ করে তাদের সেট
C বৃত্তক্ষেত্র দ্বারা নির্দেশ করি।
চিত্র অনুসারে,
পাখি ও বিড়াল দুইটিই পছন্দ করে এমন শিক্ষার্থীর সংখ্যা p2 = 10
জন।
শুধু পাখি পছন্দ করে এমন শিক্ষার্থীর সংখ্যা p1 = B – p2 = 25
– 10 = 15 জন।
শুধু বিড়াল পছন্দ করে এমন শিক্ষার্থীর সংখ্যা p3 = C – p2 = 15
– 10 = 5 জন।
∴ শুধু পাখি+উভয়+শুধু বিড়াল পছন্দ করে p1+p2+p3 = 15+10+5 = 30
জন।
তাহলে,
পাখি বা বিড়াল এর কোনটিই পছন্দ করে না এমন শিক্ষার্থীর সংখ্যা
= U – (p1+p2+p3) = 40 – 30 = 10 জন।
∴ নির্নেয় উত্তরঃ 10 জন।
প্রাত্যহিক জীবনে সেট এর অনুশীলনীর সমাধান অর্থাৎ ৯ম শ্রেণির
নতুন কারিকুলামের ১ম অধ্যায়ের অনুশীলনীর সকল প্রশ্নের পূর্ণাঙ্গ সমাধান প্রদান করা
হয়েছে এখানে, সাথে চলার জন্য ধন্যবাদ। ১০০% সঠিক সমাধানে সচেষ্ট আমরা সর্বদা, চল
এগিয়ে যাই।
৯। যদি P = {a, b}, Q = {0, 1, 2} এবং R = {0,
1, a} হয়, তবে নিচের রাশিগুলোর মান নির্ণয় করো।
ক) P × Q, P × P, Q × Q, Q × P এবং P × ∅
সমাধানঃ
P × Q
= {a,b}×{0,1,2}
={(a,0),(a,1),(a,2),(b,0),(b,1),(b,2)}
P × P
={a,b}×{a,b}
={(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)}
Q × Q
={0,1,2}×{0,1,2}
={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2)}
Q × P
={0,1,2}×{a,b}
={(0,a),(a,b),(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)}
এবং
P × ∅
= ∅
খ) (P × Q) ∩ ( P × R)
সমাধানঃ
(P × Q) ∩ ( P × R)
= ({a,b}×{0,1,2}) ∩ ({a,b}×{0,1,a})
={(a,0),(a,1),(a,2),(b,0),(b,1),(b,2)} ∩
{(a,0),(a,1),(a,a),(b,0),(b,1),(b,a)}
= {(a,0),(a,1),(b,0),(b,1)}
গ) P × (Q ∩ R)
সমাধনঃ
P × (Q ∩ R)
= {a,b} × ({0,1,2} ∩ {0,1,a})
= {a,b} × {0,1}
= {(a,0),(a,1),(b,0),(b,1)}
ঘ) (P × Q) ∩ R
সমাধানঃ
(P × Q) ∩ R
=({a,b}×{0,1,2}) ∩ {0,1,a}
= {(a,0),(a,1),(a,2),(b,0),(b,1),(b,2)} ∩
{0,1,a}
= ∅
ঙ) n(P × Q), n(Q × Q)
সমাধানঃ
P × Q
= {a,b}×{0,1,2}
={(a,0),(a,1),(a,2),(b,0),(b,1),(b,2)}
এখানে, P × Q এর উপাদান সংখ্যা 6 টি।
∴ n(P × Q) = 6
আবার,
Q × Q
={0,1,2}×{0,1,2}
={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2)}
এখানে, Q × Q এর উপাদান সংখ্যা 9 টি।
∴ n(Q × Q) = 9
চ) (গ) এবং (ঘ) এর সমতার বিষয়ে তোমার যুক্তি উপস্থাপন করো।
সমাধানঃ
সমাধান পরে দেয়া হবে।
১০। P = {0, 1, 2, 3}, Q = {1, 3, 4} এবং R = P ∩ Q হলে,
(i) P × R এবং R × Q নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
P = {0, 1, 2, 3}, Q = {1, 3, 4} এবং R = P ∩
Q
এখন,
R
= P ∩ Q
= {0, 1, 2, 3} ∩ Q {1, 3, 4}
= {1,3}
∴ P × R
= {0, 1, 2, 3} × {1,3}
= {(0,1),(0,3),(1,1),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,3)}
এবং R × Q
= {1,3} × {1, 3, 4}
= {(1,1),(1,3),(1,4),(3,1),(3,3),(3,4)}
(ii) n(P × R) এবং n(R × Q) এর মান
বের করো।
সমাধানঃ
(i) নং হতে পাই,
P × R এর গুণফলে উপাদান সংখ্যা 8টি
এবং R × Q এর গুণফলে উপাদান সংখ্যা 6টি
তাহলে,
n(P × R) = 8 এবং n(R × Q) = 6
১১। যদি P × Q = {(0, a ), (1, c), (2, b)} হয়, তবে
P এবং Q নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, P × Q = {(0, a ), (1, c), (2, b)}
এখানে,
P × Q এর উপাদানগুলোর ১ম রাশিগুলো হলোঃ 0,1,2 এবং ২য় রাশিগুলো
হলোঃ a,c,b
তাহলে, P = {0,1,2} এবং Q = {a,c,b}
বিঃদ্রঃ এই হিসেবে P = {0,1,2} এবং Q = {a,c,b} হতে হলে P × Q
= {(0,a),(0,c),(0,b),(1,a),(1,c),(1,b),(2,a),(2,c),(2,b)} হবে।
দ্বিতীয় অধ্যায় (অনুশীলনী অংশ)
অনুক্রম ও ধারা
এটা হলো নবম শ্রেণির গণিতের নতুন কারিকুলামের দ্বিতীয়
অধ্যায় যার নাম রাখা হয়েছে অনুক্রম ও ধারা। এই অংশে আমরা অনুশীলনীর ১-১১ পর্যন্ত
সমাধান দেওয়া আছে। এখানে আমরা শিখব-
Ä
সমান্তর
অনুক্রম
Ä
গুণোত্তর
অনুক্রম
Ä
ফিবোনাচ্চি
অনুক্রম
Ä
সমান্তর ধারা
Ä
গুণোত্তর
ধারা
১. নিচের অনুক্রমগুলো সমান্তর, গুণোত্তর,
ফিবোনাচ্চি নাকি কোনোটিই নয়? কেন? সাধারণ পদ নির্ণয়সহ ব্যাখ্যা করো।
(i) 2, 5, 10, 17,……
সমাধানঃ
এটি সমান্তর নয় কারণ এর সাধারণ অন্তর ভিন্ন ভিন্ন।
যেমনঃ
২য় পদ – ১ম পদ = 5 – 2 = 3
৩য় পদ – ২য় পদ = 10 – 5 = 5
আবার,
এটি গুণোত্তর নয় কারণ এর সাধারণ অনুপাত ভিন্ন ভিন্ন।
যেমনঃ
২য় পদ ÷ ১ম পদ = 5 ÷ 2 = 2.5
৩য় পদ ÷ ২য় পদ = 10 ÷ 5 = 2
এটি ফিবোনাচ্চি নয় কারণ এর পরবর্তী যে কোনো পদ
পূর্ববর্বর্তী দুটি পদের সমষ্টির সমান নয়।
যেমনঃ
১ম পদ + ২য় পদ = 2+5 ≠
10 (৩য় পদ);
২য় পদ + ৩য় পদ = 5+10 ≠
17 (৪র্থ পদ)
সাধারণ পদ নির্ণয়ঃ
লক্ষ করি,
প্রদত্ত অনুক্রমঃ 2, 5, 10, 17,……
১ম পার্থক্যঃ 3 5 7
২য় পার্থক্যঃ 2 2
এখান থেকে লিখতে পারি,
(৩য় পদ – ২য় পদ) + 2 + ৩য় পদ = ৪র্থ পদ
বা, ২×৩য় পদ – ২য় পদ + 2 = ৪র্থ পদ
বা, 2.a3 – a2 + 2 = a4
বা, an = 2an-1 – an-2 + 2 [নির্নেয় সাধারন পদ]
(ii) 2, 7, 12, 17,……
সমাধানঃ
এটি সমান্তর কারণ এর সাধারণ অন্তর অভিন্ন।
যেমনঃ
২য় পদ – ১ম পদ = 7 – 2 = 5
৩য় পদ – ২য় পদ = 12 – 7 = 5
সাধারণ পদ নির্ণয়ঃ
এখানে,
১ম পদ a, সাধারণ অন্তর d হলে সমান্তান্তর অনুক্রমের
বীজগণিতীয় রূপঃ a, a+d, a+2d, a+3d,…
এই অনুসারে, nতম পদ, an = a+(n-1)d = 2+(n-1)5 [নির্নেয় সাধারণ পদ]
(iii) -12, 24, -48, 96,……
সমাধানঃ
এটি গুণোন্তর কারণ এর সাধারণ অনুপাত অভিন্ন।
যেমনঃ
২য় পদ ÷ ১ম পদ = 24 ÷ (-12) = -2
৩য় পদ ÷ ২য় পদ = (-48) ÷ 24 = -2
সাধারণ পদ নির্ণয়ঃ
এখানে,
১ম পদ a, সাধারণ অনুপাত r হলে গুণোন্তর অনুক্রমের
বীজগণিতীয় রূপঃ a, ar, ar2, ar3,…
এই অনুসারে, nতম পদ, an = arn-1 = -12.(-2)n-1 [নির্নেয় সাধারণ পদ]
(iv) 13, 21, 34, 55,……
সমাধানঃ
এটি ফিবোনাচ্চি কারণ এর পরবর্তী যে কোনো পদ
পূর্ববর্বর্তী দুটি পদের সমষ্টির সমান।
যেমনঃ
৩য় পদ = ১ম পদ + ২য় পদ = ১৩+২১ = ৩৪
৪র্থ পদ = ২য় পদ + ৩য় পদ = ২১+৩৪ = ৫৫
সাধারণ পদ নির্ণয়ঃ
পদ কে F দ্বারা চিহ্নিত করলে, সুত্রমতে n তম পদ, Fn = Fn-1 + Fn-2 [নির্ণেয় সাধারন পদ]
(v) 5, -3, 9/5, -27/25,……
সমাধানঃ
এটি গুণোন্তর কারণ এর সাধারণ অনুপাত অভিন্ন।
যেমনঃ
২য় পদ ÷ ১ম পদ = (-3) ÷ 5 = -3/5
৩য় পদ ÷ ২য় পদ = 9/5 ÷
(-3) = -3/5
সাধারণ পদ নির্ণয়ঃ
এখানে,
১ম পদ a, সাধারণ অনুপাত r হলে গুণোন্তর অনুক্রমের
বীজগণিতীয় রূপঃ a, ar, ar2, ar3,…
এই অনুসারে, nতম পদ, an = arn-1 = 5.(-3/5)n-1 [নির্নেয় সাধারণ পদ]
(vi) 1/3 , 2/3 , 4/3 , 8/3 ,…
সমাধানঃ
এটি গুণোন্তর কারণ এর সাধারণ অনুপাত অভিন্ন।
যেমনঃ
২য় পদ ÷ ১ম পদ = 2/3 ÷ 1/3 =
2
৩য় পদ ÷ ২য় পদ = 4/3 ÷ 2/3 =
2
সাধারণ পদ নির্ণয়ঃ
এখানে,
১ম পদ a, সাধারণ অনুপাত r হলে গুণোন্তর অনুক্রমের
বীজগণিতীয় রূপঃ a, ar, ar2, ar3,…
এই অনুসারে, nতম পদ, an = arn-1 = 1/3.2n-1 [নির্নেয় সাধারণ পদ]
২. নিচের অনুক্রমগুলোর শূন্যস্থান পূরণ
করো।
(i) 2, 9, 16, ____,____,
37,____.
(ii) -35, ____, ____, -5, 5, ____.
(iii) ____,____, ____, 5, -4,____.
(iv) ____, 10x2 ,
50x3 ,____, ____,
সমাধানঃ
(i) 2, 9, 16, 23, 30, 37, 44.
[Hint: an = a+(n-1)d সূত্রমতে]
(ii) -35, -25, -15, -5, 5, 15.
[Hint: an = a+(n-1)d সূত্রমতে]
(iii) 32, 23, 14, 5, -4, -13.
[Hint: an = a+(n-1)d সূত্রমতে]
(iv) 2x, 10x2 , 50x3 ,250x3, 1250x4,
[Hint: an = arn-1 সূত্রমতে]
৩. ছকের খালি ঘরগুলো পূরণ করো।
[বিদ্রঃ আমরা এই ছকেই সমাধানের ফল দ্বারা খালি ঘরগুলো
পূরণ করে দিয়েছি, আর নিন্মে সমাধানের পদ্ধতি বিস্তারিত দেয়া হয়েছে।]
|
ক্রমিক নং |
১ম পদ |
সাধারণ অন্তর |
পদসংখ্যা |
nতম পদ |
Sn |
|
i. |
2 |
5 |
10 |
47 |
245 |
|
ii. |
-37 |
4 |
10 |
-1 |
-190 |
|
iii. |
29 |
-4 |
14 |
-23 |
42 |
|
iv. |
34 |
-2 |
13 |
10 |
286 |
|
v. |
¾ |
½ |
15 |
31/4 |
255 |
|
vi. |
9 |
-2 |
18 |
-25 |
-144 |
|
vii. |
7 |
7/3 |
13 |
35 |
1820/3 |
|
viii. |
-4 |
7 |
25 |
164 |
2000 |
|
ix. |
8 |
-¾ |
15 |
-5/2 |
165/4 |
|
x. |
2 |
2 |
50 |
100 |
2550 |
সমাধানঃ
i.
nতম পদ an = a + (n - 1)d = 2 + (10-1)5 = 2 + 9×5 = 2 + 45 = 47
সমষ্টি Sn = ½.n{2a + (n - 1)d} = ½×10{2×2+(10-1)5} = 5(4+9×5) = 5×49 = 245
ii. [বিদ্রঃ পাঠ্যবইয়ে Sn এর মান -180 দেওয়া আছে, আমরা যাচাই বাছাই করে পেয়েছি এটা
-190 হলে গ্রহণযোগ্য হয় এবং সেই অনুসারে সমাধান দেয়া হলো। তোমাদের মতামত থাকলে
আমাদের জানিও।]
আমরা জানি,
Sn = ½.n{2a + (n - 1)d}
বা, 2Sn = n{2a + (n - 1)d}
বা, 2×-190 = n{2.-37 + (n - 1)4} [মান বসিয়ে]
বা, -380 = n(-74+4n-4)
বা, -380 = -74n+4n2-4n
বা, -190 = -37n+2n2-2n
বা, -190 = -39n+2n2
বা, -39n+2n2+190 = 0
বা, 2n2-39n +190 = 0
বা, 2n2-20n-19n +190 = 0
বা, 2n(n-10)-19(n-10)=0
বা, (2n-19)(n-10)=0
বা, 2n=19 অথবা, n=10
বা, n=9.5 [n এর মান ভগ্নাংশ হতে পারে না]
তাহলে, n=10
আবার, সূত্রমতে,
an = a + (n - 1)d
বা, an = -37 + (10-1)4 [মান বসিয়ে]
বা, an = -37 + 9×4
বা, an = -37 + 36
বা, an = -1
iii. আমরা জানি,
an = a + (n - 1)d
বা, -23 = 29 + (n - 1)×(-4) [মান বসিয়ে]
বা, -23 = 29 -4n+4
বা, 4n = -23-29-4
বা, 4n = -56
বা, n =-56/4 = 14
আবার,
আমরা জানি,
Sn = ½.n{2a + (n - 1)d}
বা, Sn =½.14{2×29 + (14 - 1)(-4)} [মান বসিয়ে]
বা, Sn =7{58 + 13(-4)}
বা, Sn =7(58-52)
বা, Sn =7×6
বা, Sn =42
iv. আমরা জানি,
an = a + (n - 1)d
বা, 10 = a + (13-1)(-2) [মান বসিয়ে]
বা, 10 = a + 12×(-2)
বা, 10 = a – 24
বা, a = 10 + 24
বা, a = 34
আবার, আমরা জানি,
Sn = ½.n{2a + (n - 1)d}
বা, Sn = ½.13{2×34 + (13 - 1)(-2)} [মান বসিয়ে]
বা, Sn = ½.13{68 + 12(-2)}
বা, Sn = ½.13{68 - 24}
বা, Sn = ½.13×44
বা, Sn = 286
v. আমরা জানি,
an = a + (n - 1)d
বা, 31/4 = ¾ + (n-1)½
[মান বসিয়ে]
বা, 31 = 3 + (n-1).2 [উভয়পক্ষকে 4 দ্বারা গুণ করে]
বা, 31 = 3 + 2n – 2
বা, 31 = 2n + 1
বা, 2n = 31-1
বা, 2n = 30
বা, n = 15
আবার,
Sn = ½.n{2a + (n - 1)d}
বা, Sn = ½.15{2×3/4 + (15 - 1)½}
বা, Sn = ½.15{3/2 + (14)½}
বা, Sn = ½.15{3/2 + 14/2}
বা, Sn = ½.15{17/2}
বা, Sn = 255
vi. আমরা জানি,
Sn = ½.n{2a + (n - 1)d}
বা, 2Sn = n{2a + (n - 1)d}
বা, 2×-144 = n{2×9 + (n - 1)(-2)} [মান বসিয়ে]
বা, -288 = n(18-2n+2)
বা, -288 = 18n-2n2+2n
বা, -288 = 20n-2n2
বা, 20n-2n2+288 = 0
বা, -2n2+20n +288 = 0
বা, 2n2-20n-288 = 0
বা, n2-10n-144 = 0
বা, n2-10n-144 = 0
বা, n2-18n+8n-144 = 0
বা, n(n-18)+8(n-18)=0
বা, (n-18)(n+8)=0
বা, n=18 অথবা, n=-8 [গ্রহনযোগ্য নয়]
তাহলে, n=18
আবার, an = a + (n - 1)d
বা, an = 9 + (18-1)(-2) [মান বসিয়ে]
বা, an = 9 + 17(-2)
বা, an = 9 - 34
বা, an = -25
vii. আমরা জানি,
an = a + (n - 1)d
বা, 35 = 7 + (13 - 1)d [মান বসিয়ে]
বা, 35 = 7 +12d
বা, 12d = 35-7
বা, 12d = 28
বা, d = 28/12 = 7/3
আবার, Sn = ½.n{2a + (n - 1)d}
বা, Sn = ½.13{2×7 + (35 - 1)7/3} [মান বসিয়ে]
বা, Sn = ½.13{14 + (34)×7/3}
বা, Sn = ½.13(14 + 238/3)
বা, Sn = ½.13(42/3 + 238/3)
বা, Sn = ½.13(280/3)
বা, Sn = 3640/6
বা, Sn = 1820/3
viii. আমরা জানি,
Sn = ½.n{2a + (n - 1)d}
বা, 2000 = ½.25{2a + (25 - 1)7} [মান বসিয়ে]
বা, 2000 = ½.25(2a + 24×7)
বা, 2000 = ½.25(2a + 168)
বা, (2a + 168) = 2000×2/25
বা, 2a+168 = 160
বা, 2a = 160-168
বা, 2a = -8
বা, a = -4
আবার,
an = a + (n - 1)d
an = -4 + (25 - 1)7 [মান বসিয়ে]
an = -4 + 24×7
an = -4 + 168
an = 164
ix. আমরা জানি,
Sn = ½.n{2a + (n - 1)d}
বা, 165/4 = ½.15{2a + (15 - 1)(-¾)} [মান বসিয়ে]
বা, 165/4 = ½.15{2a + 14×(-¾)}
বা, 165/4 = ½.15(2a – 21/2)
বা, ½.15(2a – 21/2)
= 165/4
বা, (2a – 21/2) = 11/2
বা, 2a = 11/2 + 21/2
বা, 2a = 32/2
বা, a = 32/4
বা, a = 8
আবার,
an = a + (n - 1)d
an = 8 + (15 - 1)(-¾) [মান বসিয়ে]
an = 8 + 14×(-¾)
an = 8 – 21/2
an = 16/2 – 21/2
an = -5/2
x. আমরা জানি,
Sn = ½.n{2a + (n - 1)d}
বা, 2Sn = n{2a + (n - 1)d}
বা, 2×2550 = n{2.2 + (n - 1)2} [মান বসিয়ে]
বা, 5100 = n(4+2n-2)
বা, 5100 = 4n+2n2-2n
বা, 5100 = 2n+2n2
বা, 2550 = n+n2
বা, n+n2+2550 = 0
বা, n2+n +2550 = 0
বা, n2+51n-50n +2550 = 0
বা, n(n+51)-50(n+51)=0
বা, (n+51)(n-50)=0
বা, n=50 অথবা, n=-51 [গ্রহনযোগ্য নয়]
তাহলে, n=50
আবার,
an = a + (n - 1)d
বা, an = 2 + (50-1)2 [মান বসিয়ে]
বা, an = 2 + 49×2
বা, an = 2 + 98
বা, an = 100
৪. তোমার পড়ার ঘরের মেঝেতে তুমি সমবাহু
ত্রিভুজাকৃতির একটি মোজাইক করতে চাও, যার বাহুর দৈর্ঘ্য 12 ফুট। মোজাইকে সাদা ও
নীল রঙের টাইলস থাকবে। প্রতিটি টাইলস 12 ইঞ্চি দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট সুষম ত্রিভুজাকৃতি।
টাইলসগুলো বিপরীত রঙে বসিয়ে মোজাইকটি সম্পুর্ণ করতে হবে।
ক) ত্রিভুজাকৃতির মোজাইকটির একটি মডেল তৈরি
করো।
সমাধানঃআমি আমার ঘরে সমবাহু ত্রিভুজ আকৃতির একটা মোজাইক
করতে চাই যার প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য ১২ ফুট। এবং এই মোজাইক করার জন্য আমি কতগুলো নীল
ও কতগুলো সাদা টাইলস বেছে নিয়েছি যেখানে প্রতিটি টাইলস সমবাহু এবং বাহুর দৈর্ঘ্য
১২ ইঞ্চি। এখন টাইলসগুলো বিপরীত রঙে বসানোর জন্য আমি একটি মডেল তৈরি করেছি, মডেলটি
নিন্মরুপঃ
খ) প্রত্যেক রঙের কয়টি করে টাইলস লাগবে?
সমাধানঃ
সমবাহু ত্রিভুজাকৃতি মোজাইক এর বাহু AB = BC = CA = 12
ফুট।
সুষম ত্রিভুজাকৃতি টাইলস এর বাহুর দৈর্ঘ্য = 12 ইঞ্চি =
1 ফুট।
তাহলে, মডেল অনুসারে, ত্রিভুজাকৃতি মোজাইক এর বাহু BC
বরাবর স্থাপিত নীল টাইলস এর সংখ্যা = (12÷1) টি = 12 টি।
অর্থাৎ ১ম ধাপে নীল টাইলস এর সংখ্যা a = 12
আবার,
সমবাহু ত্রিভুজাকৃতি মোজাইক ABC এর উচ্চতা = (√3/2).12 ফুট।
সুষম ত্রিভুজাকৃতি টাইলস এর উচ্চতা = (√3/2).1ফুট।
তাহলে,
মডেলটিতে, মোট ধাপ সংখ্যা n = (√3/2).12 ÷ (√3/2).1 = 12
এবং, ADE এর উচ্চতা = (√3/2).12 - (√3/2).1
= (√3/2).11 ফুট।
এখন আমরা জানি সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা = (√3/2).a, এই সূত্র অনুসারে (√3/2).11
উচ্চতা বিশিষ্ট ত্রিভুজটি সমবাহু হবে এবং যার প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য 11 ফুট।
অর্থাৎ, DE = 11 ফুট।
তাহলে, DE বরাবর নীল টাইলস রাখা যাবে (11÷1) টি = 11 টি।
অর্থাৎ ২য় ধাপে নীল টাইলস এর সংখ্যা = 11
তাহলে, সমান্তর ধারা অনুসারে, সাধারন অন্তর d = (11-12)
= -1
সুতরাং,
মেডেলটিতে মোট নীল টাইলস এর সংখ্যা Sn
= ½.n{2a + (n - 1)d}
= ½.12{2.12 + (12 - 1)(-1)}
= 6{24 + 11(-1)}
= 6(24 - 11)
= 6×13
= 78 টি
এখন আবার,
মেডেল অনুসারে, DE বরাবর সাদা টাইলস আছে 11টি কারণ DE =
11 ফুট।
নীল টাইলসের ক্ষেত্রে প্রয়োগকৃত সকল সূত্র ও নিয়ম সাদা
টাইলস এর ক্ষেত্রে ব্যবহার করলে সেক্ষেত্রে আমরা পাই,
a = 11, n = 11, d = -1
তাহলে,
মোট সাদা টাইলস এর সংখ্যা Sn
= ½.n{2a + (n - 1)d}
= ½.11{2.11 + (11 - 1)(-1)}
= ½.11{22 + 10(-1)}
= ½.11 (22 - 10)
= ½.11×12
= 66 টি
গ) মোট কতগুলো টাইলস প্রয়োজন হবে?
সমাধানঃ
সমবাহু ত্রিভুজাকৃতি মোজাইক এর বাহুর দৈর্ঘ্য = 12 ফুট।
∴সমবাহু ত্রিভুজাকৃতি মোজাইক এর ক্ষেত্রফল = √3/4.(12)2 বর্গ ফুট।
আবার,
সুষম ত্রিভুজাকৃতি টাইলস এর বাহুর দৈর্ঘ্য = 12 ইঞ্চি =
1 ফুট।
∴ সুষম ত্রিভুজাকৃতি টাইলস এর ক্ষেত্রফল = √3/4.(1)2 বর্গ ফুট।
অর্থাৎ,
সমবাহু ত্রিভুজাকৃতি মোজাইক সম্পূর্ণ করতে সুষম
ত্রিভুজাকৃতি টাইলস লাগবে
√3/4.(12)2
= ------------ টি
√3/4.(1)2
= (12)2 টি
= 144 টি।
৫. ছকের খালি ঘরগুলো পূরণ করো।
[বিদ্রঃ অনুক্রম ও ধারা অধ্যায়ের এই ৫ নং সমস্যার ছক
পূরণ করেই প্রকাশ করা হলো। কিভাবে ছক এ উত্তর বসানো হয়েছে তা ছকের নিচে সূত্র
সহকারে বিস্তারিত দেয়া হয়েছে।]
|
ক্রমিক নং |
১ম পদ |
সাধারণ অনুপাত |
পদসংখ্যা |
nতম পদ |
সমষ্টি |
|
i. |
128 |
½ |
9 |
½ |
511/2 |
|
ii. |
1 |
-3 |
8 |
-2187 |
-1640 |
|
iii. |
1/√2 |
-√2 |
9 |
8√2 |
(31/√2 - 7) |
|
iv. |
2 |
-2 |
7 |
128 |
86 |
|
v. |
2 |
2 |
7 |
128 |
254 |
|
vi. |
12 |
2 |
7 |
768 |
1524 |
|
vii. |
27 |
1/3 |
5 |
1/3 |
121/3 |
|
viii. |
3 |
4 |
6 |
3072 |
4095 |
সমাধানঃ
i. an = arn-1
বা, ½ = 128(½)n-1 [মান বসিয়ে..]
বা, (½)n-1 = 1/256
বা, (½)n-1 =
(½)8
বা, n-1 = 8
বা, n = 9
আবার,
Sn = a(1-rn) ÷ (1-r)
বা, Sn = 128(1- ½9) ÷ (1- ½ )
[মান বসিয়ে..]
বা, Sn = 128(1- 1/512) ÷ ½
বা, Sn = 128(511/512)×2
বা, Sn = 511/2
ii. an = arn-1
বা, -2187 = a(-3)8-1 [মান বসিয়ে..]
বা, -2187 = a(-3)7
বা, -2187 = -2187a
বা, a = 1
এবং,
Sn = a(1-rn) ÷ (1-r)
Sn = 1{1-(-3)8} ÷ {1-(-3)} [মান বসিয়ে..]
Sn = (1-6561) ÷ 4
Sn = -6560 ÷ 4
Sn = -1640
iii. an = arn-1
বা, 8√2 = (1/√2)(-√2)n-1 [মান বসিয়ে..]
বা, 8√2×√2
= (-√2)n-1
বা, 16 = (-√2)n-1
বা, (-√2)n-1 = (-√2)8
বা, n-1 = 8
বা, n = 9
আবার,
Sn = a(1-rn) ÷ (1-r)
বা, Sn = (1/√2){1-(-√2)9} ÷ {1-(-√2)} [মান বসিয়ে]
বা, Sn = (1/√2){19-(-√2)9} ÷ {1-(-√2)}
বা, Sn = (1/√2)[(13)3-{(-√2)3}3]÷ {1-(-√2)}
বা, Sn = (1/√2)[{(13-(-√2)3}{(13)2+13.(-√2)3+{(-√2)3}2]÷ {1-(-√2)} [সূত্র a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2 ব্যবহার করে]
বা, Sn = (1/√2)[{1-(-√2)}{12+1.(- √2)+(- √2)2}{1-2√2+8}] ÷ {1-(-√2)} [সূত্র a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2 ব্যবহার করে]
বা, Sn = (1/√2)[{1-(-√2)}(1- √2+2){1-2√2+8}
÷ {1-(-√2)}
বা, Sn = (1/√2)(1- √2+2)(1-2√2+8)
বা, Sn = (1/√2)(1- √2+2 - 2√2 + 4 +4√2
+ 8 - 8√2 + 16)
বা, Sn = (1/√2)(-7√2 + 31)
বা, Sn = (1/√2)(31-7√2)
বা, Sn = (31/√2 - 7)
iv. an = arn-1
বা, 128 = a(-2)7-1
বা, 128 = a(-2)6
বা, 128 = 64a
বা, a = 2
এবং,
Sn = a(1-rn) ÷ (1-r)
বা, Sn = 2{1-(-2)7} ÷ {1-(-2)}
বা, Sn = 2{1-(-128)} ÷ (1+2)
বা, Sn = 2(1+128) ÷ (1+2)
বা, Sn = 2×129 ÷ 3
বা, Sn = 86
v. Sn = a(1-rn) ÷ (1-r)
বা, 254 = 2(1-2n) ÷ (1-2)
বা, 254 = 2(1-2n) ÷ (-1)
বা, 254 = -2(1-2n)
বা, 1-2n = -127
বা, -2n = -128
বা, 2n = 128
বা, 2n = 27
বা, n = 7
আবার,
an = arn-1
বা, an = 2.27-1
বা, an = 128
vi. an = arn-1
বা, 768 = 12rn-1
বা, rn-1=768/12
বা, rn-1=64
বা, rn/r=64
বা, rn=64r …….(i)
আবার,
Sn = a(1-rn) ÷ (1-r)
বা, 1524 = 12(1-rn) ÷ (1-r)
বা, (1-rn) ÷ (1-r) = 1524/12
বা, (1-rn) ÷ (1-r) = 127
বা, (1-rn) = 127(1-r)
বা, 1-rn = 127-127r
বা, -rn = 127-127r - 1
বা, -rn = 126-127r
বা, rn = 127r – 126 ………(ii)
(i) ও (ii) থেকে পাই,
64r = 127r – 126
বা, 64r – 127r = 126
বা, 63r = 126
বা, r = 126/63
বা, r = 2
এখন, r এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
2n=64×2
বা, 2n=128
বা, 2n = 27
বা, n = 7
vii. an = arn-1
বা, 1/3 = 27(1/3)n-1
বা, 27(1/3)n-1 = 1/3
বা, (1/3)n-1 = 1/3×27
বা, (1/3)n-1 = 1/81
বা, (1/3)n-1 = (1/3)4
বা, n-1 = 4
বা, n = 5
এবং,
Sn = a(1-rn) ÷ (1-r)
বা, Sn = 27{1-(1/3)5} ÷ (1-1/3)
বা, Sn = 27{1-1/243} ÷ (1-1/3)
বা, Sn = (27-27/243} ÷ (1-1/3)
বা, Sn = (27-1/9} ÷ (1-1/3)
বা, Sn = (243/9-1/9)
÷ (3/3-1/3)
বা, Sn = 242/9 ÷ 2/3
বা, Sn = 242/9 × 3/2
বা, Sn = 121/3
viii. Sn = a(1-rn) ÷ (1-r)
বা, 4095 = a(1-46) ÷ (1-4)
বা, 4095 = a(1-4096) ÷ (-3)
বা, 4095 = a(-4095) ÷ (-3)
বা, 4095 = 1365a
বা, a = 4095/1365
বা, a = 3
আবার,
an = arn-1
বা, an = 3.46-1
বা, an = 3.45
বা, an = 3072
৬.
ক) ছক- ১ এর অনুক্রমটি নিবিড়ভাবে পর্যবেক্ষণ করো। অতঃপর
১০ম চিত্রটি গঠন করে কয়েন সংখ্যা নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
ছক – ১ এর অনুক্রমের চিত্রটি পর্যবেক্ষন করি। প্রতিটি
চিত্রে, চিত্র সংখ্যার সমান সংখ্যক কয়েন এর সারি আছে, এক সারি থেকে অপর সারিতে
কয়েনের বৃদ্ধির হার 1 এবং ১ম সারিতে 1টি মাত্র কয়েন আছে।
তাহলে,
১০ম চিত্রে,
কয়েন এর সারি সংখ্যা n = 10
সারি থেকে সারিতে কয়েনের বৃদ্ধির হার বা সাধারণ অন্তর d
= 1
১ম সারিতে কয়েনের সংখ্যা a = 1
অতএব,
১০ম চিত্রে মোট কয়েন এর সংখ্যা Sn
= ½.n{2a + (n - 1)d}
= ½.10(2.1+(10-1)1
= 5(2+9.1)
= 5(2+9)
= 5×11
= 55
ফলে, দশম পদ 55 এর জন্য চিত্রটি নিন্মরুপঃ
|
• |
খ) প্রদত্ত তথ্যের আলোকে nতম চিত্রের কয়েন সংখ্যা নির্ণয়
করো।
সমাধানঃ
ছক – ১ এর অনুক্রমের চিত্রটি পর্যবেক্ষন করি। প্রতিটি
চিত্রে, চিত্র সংখ্যার সমান সংখ্যক কয়েন এর সারি আছে, এক সারি থেকে অপর সারিতে
কয়েনের বৃদ্ধির হার 1 এবং ১ম সারিতে 1টি মাত্র কয়েন আছে।
তাহলে,
nতম চিত্রে,
কয়েন এর সারি সংখ্যা = n
সারি থেকে সারিতে কয়েনের বৃদ্ধির হার বা সাধারণ অন্তর d
= 1
১ম সারিতে কয়েনের সংখ্যা a = 1
অতএব,
nতম চিত্রে মোট কয়েন এর সংখ্যা Sn
= ½.n{2a + (n - 1)d}
= ½.n{2.1 + (n - 1)1}
= ½.n{2 + (n - 1)}
= ½.n(2 + n – 1)
= ½.n(n + 1) [Ans.]
গ) n = 5 হলে, ছক-২ এর ২য় কলামের সংখ্যাগুলো নির্ণয় করো
এবং দেখাও যে, nতম সারির সংখ্যাগুলোর সমষ্টি 2n সূত্রকে সমর্থন করে।
সমাধানঃ
ছক – ২ পর্যবেক্ষন করে পাই,
প্রতিটি সারিতে ১ম ও শেষ সংখ্যা হলো 1 এবং মাঝের
সংখ্যাগুলো হলো পূর্বের সারির পাশাপাশি দুইটি সংখ্যার যোগফলের সমান।
সেইঅনুসারে, n = 5 এর ক্ষেত্রে আমরা পাই,
অতএব,
n = 5 হলে, ছক-২ এর ২য় কলামের সংখ্যাগুলোঃ 1, 5, 10, 10,
5, 1
nতম সারির সংখ্যাগুলোর সমষ্টিঃ
১ম সারির সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = 2 = 21
২য় সারির সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = 4 = 22
৩য় সারির সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = 8 = 23
৪র্থ সারির সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = 16 = 24
∴ nতম সারির সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = 2n [দেখানো হলো]
ঘ) প্রতিটি সারির সমষ্টিগুলো নিয়ে একটি ধারা তৈরি করো
এবং ধারাটির ১ম n সংখ্যক পদের সমষ্টি 2046 হলে, n এর মান নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
প্রতিটি সারির সমষ্টিগুলো নিয়ে একটি ধারা তৈরি করা হলো
যা নিন্মরুপঃ
2 + 4 + 8 + 16 + …………….
এখন,
ধারাটিতে, ১ম পদ a = 2
সাধারণ অনুপাত r = 4 ÷ 2 = 2
পদসংখ্যা = n
সমষ্টি Sn = 2046
আমরা জানি,
Sn = a(1-rn) ÷ (1-r)
বা, 2046 = 2(1-2n) ÷ (1-2)
বা, 2046 = 2(1-2n) ÷ (-1)
বা, 2046 = -2(1-2n)
বা, -2(1-2n) = 2046
বা, 1-2n = -1023
বা, -2n = -1023 – 1
বা, -2n = -1024
বা, 2n = 1024
বা, 2n = 210
বা, n = 10
৭. n এর মান নির্ণয় করো, যেখানে n ∈
N.
[বিদ্রঃ ∑
এর উপর n এবং নিচে k=1 সাইটে লেখা না যাওয়ায় শুধুমাত্র ∑ দ্বারা প্রকাশ করেছি; তোমরা পাঠ্যপুস্তক অনুসারে লিখবে।]
i. ∑ (20 - 4k) = -20
সমাধানঃ
এখানে, k = 1, 2, 3, ……. n
∵ (20 – 4.1) + (20 – 4.2) + (20 – 4.3) + ………. (20 – 4n)
= -20
বা, 20n – 4(1+2+3+…..n) = -20
বা, 20n – 4.½.n{2.1 + (n - 1)1} = -20 [Sn = ½.n{2a + (n - 1)d} এর সূত্র প্রয়োগ করে]
বা, 20n – 2.n(2 + n – 1) = -20
বা, 20n – 2n(n + 1) = -20
বা, 20n – 2n2 – 2n = -20
বা, -2n2 + 18n = -20
বা, -2n2 + 18n + 20 = 0
বা, 2n2- 18n -20 = 0
বা, n2 – 9n – 10 = 0
বা, n2 – 10n + n – 10 = 0
বা, n(n-10) + 1(n-10) = 0
বা, (n+1)(n-10) = 0
বা, n+1 = 0 অথবা, n-10 = 0
বা, n = -1 বা, n = 10
n এর মান ঋণাত্মক হতে পারে না; অর্থাৎ n = 10.
ii. ∑ (3k + 2) = 1105
সমাধানঃ
এখানে, k = 1, 2, 3, ……. n
∵ (3.1 + 2) + (3.2 + 2) +(3.3 + 2) +………+ (3.n + 2) = 1105
বা, 3(1+2+3+……n) + 2n = 1105
বা, 3.½.n{2.1 + (n - 1).1} + 2n = 1105 [Sn = ½.n{2a + (n - 1)d} এর সূত্র প্রয়োগ করে]
বা, 3.½.n{2 + n - 1} + 2n = 1105
বা, 3.½.n(n + 1) + 2n = 1105
বা, 3.½.(n2 +
n) + 2n = 1105
বা, 3.(n2 + n) + 4n = 2210 [উপয়পক্ষকে 2 দ্বারা গুণ করে]
বা, 3n2+3n+4n = 2210
বা, 3n2+7n – 2210 = 0
বা, 3n2-78n + 85n – 2210 = 0
বা, 3n(n-26) + 85(n – 26) = 0
বা, (n-26)(3n+85) = 0
বা, n-26 = 0 অথবা, 3n+85 = 0
বা, n = 26 বা, 3n = - 85 [ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়]
∵ n = 26
iii. ∑ (-8). (0.5)k-1 = -255/16
সমাধানঃ
এখানে, k = 1, 2, 3, ……. n
∵ (-8). (0.5)1-1 + (-8). (0.5)2-1 + (-8). (0.5)3-1 +…….+ (-8). (0.5)n-1 = -255/16
বা, (-8). {(0.5)0 + (0.5)1 + (0.5)2 +…….+ (0.5)n-1}= -255/16
বা, (-8). {(0.5)0 + (0.5)1 + (0.5)2 +…….+ (0.5)n-1}= -255/16
বা, (0.5)0 + (0.5)1 + (0.5)2 +…….+ (0.5)n-1= 255/128
বা, {(0.5)0}(1-0.5n) ÷ (1-0.5) = 255/128 [Sn = a(1-rn) ÷ (1-r) সূত্রমতে]
বা, 1.(1-0.5n) ÷ 0.5 = 255/128
বা, (1-0.5n) ÷ 0.5 = 255/128
বা, (1-½n) ÷ ½ = 255/128
বা, (1-½n) = 255/256
বা, -½n = 255/256 - 1
বা, -½n = 255/256 - 1
বা, -½n = -1/256
বা, ½n = 1/256
বা, ½n = ½8
বা, n = 8
iv. ∑ (3)k-1 = 3280
সমাধানঃ
এখানে, k = 1, 2, 3, ……. n
∵ (3)1-1 + (3)2-1 + (3)3-1 +……… +(3)n-1 = 3280
বা, (3)0 + (3)1 + (3)2 +……… +(3)n-1 = 3280
বা, (3)0.(1-3n) ÷ (1-3) = 3280
বা, 1.(1-3n) ÷ (-2) = 3280
বা, (1-3n) = 3280×(-2)
বা, 1-3n = -6560
বা, -3n = -6560-1
বা, -3n = -6561
বা, 3n = 6561
বা, 3n = 38
বা, n = 8
৮. একটি সমান্তর ধারার প্রথম, দ্বিতীয় ও ১০তম
পদ যথাক্রমে একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম, চতুর্থ ও ১৭তম পদের সমান।
ক) সমান্তর ধারার ১ম পদ a, সাধারণ অন্তর d এবং গুণোত্তর
সাধারণ অনুপাত r হলে, ধারা দুইটি সমন্বয়ে দুইটি সমীকরণ গঠন করো।
সমাধানঃ
সূত্র অনুসারে,
সমান্তর ধারার ক্ষেত্রে nতম পদ an=a+(n−1)d
গুণত্তর ধারার ক্ষেত্রে nতম পদ bn=a⋅r(n−1)
প্রদত্ত সমান্তর ধারায়,
১ম পদ = a
২য় পদ = a+d
১০ম পদ = a+(10-1)d = a+9d
প্রদত্ত গুণোত্তর ধারায়,
১ম পদ = a
৪র্থ পদ = ar4-1 = ar3
১৭তম পদ = ar17-1= ar16
শর্ত অনুসারে,
a+d = ar3 [সমান্তরের ২য় পদ = গুণোত্তরের ৪র্থ পদ]
a+9d = ar16 [সমান্তরের ১০ম পদ = গুণোত্তরের ১৭তম পদ]
∵ নির্নেয় দুইটি সমীকরণঃ a+d = ar3 ও a+9d = ar16
খ) সাধারণ অনুপাত r এর মান নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
ক হতে পাই,
a+d = ar3
বা, 1+d/a = r3 [a দ্বারা ভাগ করে]
বা, r = 3√(1+d/a)
…..(i)
গ) গুণোত্তর ধারাটির ১০তম পদ 5120 হলে, a ও d এর মান
নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
পরে দেয়া হবে…..
ঘ) সমান্তর ধারাটির ১ম 20টি পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
পরে দেয়া হবে…..
৯. একটি সমবাহু ত্রিভুজ আঁকো। এর বাহুগুলোর
মধ্যবিন্দু সংযোগ করে আরেকটি সমবাহু ত্রিভুজ আঁকো। ওই ত্রিভুজের বাহুগুলোর
মধ্যবিন্দু সংযোগ করে আরেকটি সমবাহু ত্রিভুজ আঁকো। এইভাবে পর্যায়ক্রমে ১০টি
ত্রিভুজ অঙ্কন করলে এবং সর্ববহিস্থ ত্রিভুজটির প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য 64 মিমি হলে,
সবগুলো ত্রিভুজের পরিসীমার সমষ্টি কত হবে নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
একটি সমবাহু ত্রিভুজ ABC আঁকি যার
প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য 64 মিমি অর্থাৎ ABC ত্রিভুজের পরিসীমা = 3×64mm = 192mm. এখন
ABC এর বাহুগুলোর মধ্যবিন্দু সংযোগ করে আরেকটি সমবাহু ত্রিভুজ DEF আঁকি। এখন আমরা
জানি, ত্রিভূজের যেকোনো দুইটি বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা উহার তৃতীয় বাহুর
অর্ধেক। তাহলে, DF = ½AC
= ½×64mm = 32mm. এখন, যেহেতু অঙ্কিত DEF সমবাহু ত্রিভুজ সেহেতু
DE=EF=DF=32mm অর্থাৎ DEF এর পরিসীমা = 3×32mm = 96mm. আবার, DEF এর বাহুগুলোর
মধ্যবিন্দু সংযোগ করে আরেকটি সমবাহু ত্রিভুজ GHI আঁকি। তাহলে, GH=HI=IG= ½×32mm = 16mm অর্থাৎ GHI এর পরিসীমা = 3×16mm = 48mm.
একইভাবে পর্যায়ক্রমে ১০টি ত্রিভুজ আঁকি।
এখন, এইভাবে পর্যায়ক্রমে যদি অসীম ত্রিভুজ আঁকা হয় তাহলে
আমরা ত্রিভুজগুলোর পরিসীমাগুলোকে একটি ধারা আকারে লিখতে পারি যা নিন্মরুপঃ
192 + 96 + 48 + ……………………..
ধারাটিতে, ১ম পদ a = 192
সাধারন অনুপাত r = 96 ÷ 192 = ½
তাহলে,
এই ধারার nতম পদের সমষ্টি Sn
= a(1-rn) ÷ (1-r)
= 192(1- ½n) ÷ (1- ½)
শর্তানুসারে, অঙ্কিত ত্রিভুজ সংখ্যা 10 অর্থাৎ n=10 এর
ক্ষেত্রে, ধারাটির সমষ্টি
= 192(1- ½10) ÷ (1- ½)
= 192(1- ½10) ÷ ½
= 384(1- ½10)
= 384(1- 1/1024)
= 384 - 384/1024
= 384 - 3/8
384×8 – 3
= ---------------
8
= 3069/8 মিমি (Ans.)
১০. শাহানা তার শিক্ষা প্রতিষ্ঠানে একটি চারা
গাছ রোপণ করল। এক বছর পর চারা গাছটির উচ্চতা 1.5 ফুট হলো। পরবর্তী বছর এর উচ্চতা
0.75 ফুট বৃদ্ধি পেল। প্রতি বছর গাছটির উচ্চতা পূর্বের বছরের বৃদ্ধিপ্রাপ্ত
উচ্চতার 50% বাড়ে। এভাবে বাড়তে থাকলে 20 বছর পরে গাছটির উচ্চতা কত ফুট হবে?
সমাধানঃ
১ বছর পর চারা গাছটির উচ্চতা = 1.5 ফুট
২ বছর পর চারা গাছটির উচ্চতা বৃদ্ধি পেল = 0.75 ফুট
৩ বছর পর চারা গাছটির উচ্চতা বৃদ্ধি পেল = 0.75 এর 50%
ফুট = 0.375 ফুট
৪ বছর পর চারা গাছটির উচ্চতা বৃদ্ধি পেল = 0.375 এর 50%
ফুট = 0.1875 ফুট
তাহলে, উচ্চতা বৃদ্ধির ধারাঃ 0.75 + 0.375 + 0.1875 +
…………
এখানে,
a = 0.75; r = 0.375 ÷ 0.75 =0.1875 ÷ 0.375 = ½;
এবং, n = 19 কারণ গাছের বৃদ্ধি ২য় বছর থেকে শুরু হয়।
তাহলে, nতম বছরে গাছের মোট বৃদ্ধির পরিমাণ Sn
= a(1-rn) ÷ (1-r)
= 0.75(1- ½19) ÷ (1- ½)
= 0.75(1- ½19) ÷ ½
= 1.5(1- ½19)
= 1.5(1- 1/524288)
= 1.5(524287/524288)
= 1.49999714 ফুট
তাহলে, ২০ বছরে গাছটির উচ্চতা হবে
= ১ম বছরেরের গাছের উচ্চতা + ১৯ বছরের গাছটির বৃদ্ধি
= 1.5 + 1.49999714 ফুট
= 2.99999714 ফুট
১১. তুমি তোমার পরিবারের গত ছয় মাসের খরচের
হিসাব জেনে নাও। প্রতি মাসের খরচকে একেকটি পদ বিবেচনা করে সম্ভব হলে একটি ধারায়
রূপান্তর করো। তারপর নিচের সমস্যাগুলো সমাধানের চেষ্টা করো।
ক) ধারা তৈরি করা সম্ভব হয়েছে কী? হলে, কোন ধরনের ধারা
পেয়েছ ব্যাখা করো।
সমাধানঃ
হ্যাঁ ধারা তোরি করা হয়েছে। আমি একটি সামন্তর ধারা
পেয়েছি।
গত ছয় মাসে আমার পরিবারের খরচ নিন্মরুপঃ
|
মাস |
খরচ (টাকা) |
|
১ম |
6000 |
|
২য় |
6200 |
|
৩য় |
6400 |
|
৪র্থ |
6600 |
|
৫ম |
6800 |
|
৬ষ্ট |
7000 |
এখানে, a = 6000; d = 6200 – 6000 = 200; n = 6; অর্থাৎ
এটি একটি সমান্তর ধারা।
খ) ধারার সমষ্টিকে একটি সমীকরণের মাধ্যমে প্রকাশ করো।
সমাধানঃ
উপরোক্ত তথ্য হতে আমরা যে ধারাটি পাই তা নিন্মরুপঃ
6000 + 6200 + 6400 + ………………..
= 6000 + (6000+200) + (6000 + 200 + 200) + …………
= a + (a+d) + (a+d+d) + ……….. [১ম পদ, 6000 = a, সাধারন অন্তর 200 = d ধরে]
= a + (a+d) + (a+2d) + ………. (a+nd) [পদসংখ্যা n হলে]
= an + d{(1+2+3+…….(n-1)}
= an + d.n/2(n-1) [1+2+3+…….(n-1)= n/2(n-1) সূত্রমতে]
= 2an/2 + d.n/2(n-1)
= ½n{2a+(n-1)d}
= ধারার সমষ্টি Sn
অতএব, প্রাপ্ত সমীকরণ, Sn = ½.n{2a + (n - 1)d}
গ) পরবর্তী ছয় মাসে সম্ভাব্য মোট কত খরচ হতে পারে তা
নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
উপরোক্ত তথ্য হতে, পরবর্তি ১ম মাসের খরচ = 7000 + 200 =
7200
∵ পরবর্তী ছয় মাসের মোট খরচ
= ½.n{2a + (n - 1)d}
= ½.6{2.7000 + (6 - 1)200}
= 3(14000 + 5×200)
= 3(14000 + 1000)
= 3×15000
= 45000 টাকা।
ঘ) পরিবারের মাসিক/বার্ষিক খরচ সম্পর্কে তোমার
উপলব্ধিবোধ লিপিবদ্ধ করো।
সমাধানঃ
পারিবারিক খরচ সম্পর্কে আমার উপলব্ধি হলো বর্তমান বাজার
ব্যবস্থায় আমাদের খরচ দিন দিন বৃদ্ধি পাচ্ছে।
তৃতীয় অধ্যায় (অনুশীলনীর সমাধান)
লগারিদমের ধারণা ও প্রয়োগ
|
লগারিদমের ধারণা ও প্রয়োগ ·
সূচকের
বৈশিষ্ট্য ·
লগারিদমের
ধারনা ·
সূচক
ও লগারিদমের মধ্যে সম্পর্ক ·
লগারিদমের
ভিত্তি ও তার সীমাবদ্ধতা ·
লগারিদমের
আরগুমেন্ট ও তার সীমাবদ্ধতা ·
লগারিদমের
সূত্রাবলী ও তাদের প্রমাণ ·
লগারিদমের
বৈশিষ্ট্য ·
লগারিদমের
প্রয়োগ
|
1. বিভিন্ন সূত্র ব্যবহার করে মান নির্ণয় করো:
(i) 23√343
+ 25√243 - 126√64
সমাধানঃ
23√343
+ 25√243 - 126√64
= 23√(73)
+ 25√(35) - 126√(26)
= 2(73)1/3 + 2(35)1/5 - 12(26)1/6
= 2×7 + 2×3 – 12×2
= 14 + 6 – 24
ya+b yb+c yc+a
(ii) ----- × ----- × -----
y2c y2a y2b
সমাধানঃ
ya+b yb+c yc+a
----- × ----- × -----
y2c y2a y2b
= ya+b-2c × yb+c-2a × yc+a-2b
= ya+b-2c+b+c-2a+c+a-2b
= y0
= 1
2. বিভিন্ন সূত্র ব্যবহার করে প্রমাণ করো যে, (za/zb)a+b-c × (zb/zc)b+c-a × (zc/za)c+a-b =
1
সমাধানঃ
(za/zb)a+b-c × (zb/zc)b+c-a × (zc/za)c+a-b
= z(a-b)(a+b-c) × z(b-c)(b+c-a) × z(c-a)(c+a-b)
= z(a-b)(a+b-c) + (b-c)(b+c-a) + (c-a)(c+a-b)
এখন,
(a-b)(a+b-c) + (b-c)(b+c-a) + (c-a)(c+a-b)
= (a2-ab+ab-b2-ca+bc) + (b2-bc+bc-c2-ab+ca)
+ (c2-ca+ca-a2-bc+ab)
= (a2-b2-ca+bc) + (b2-c2-ab+ca)
+ (c2-a2-bc+ab)
= (a2-b2+b2-c2+c2-a2)
+ (-ca+bc-ab+ca-bc+ab)
= 0 + 0
= 0
অতএব,
z(a-b)(a+b-c) + (b-c)(b+c-a) + (c-a)(c+a-b)
= z0
= 1 [proved]
3. নিচের সূচক সমতাকে লগের মাধ্যমে প্রকাশ করো
এবং বৈজ্ঞানিক ডিভাইস ব্যবহার করে x এর মান বের করো।
(i) 2x = 64
সমাধানঃ
2x = 64
বা, log2(2x) = log2(64)
[উভয় পাশে log2 নিয়ে ]
বা, log2(2x) = log2(64)
বা, x.log2x = log2(64)
বা, x.1 = log2(64) [যেহেতু, logaa = 1]
বা, x.1 = 6 [বৈজ্ঞানিক ডিভাইস ব্যবহার করে]
বা, x = 6 [Ans]
(ii) (1.2)x = 100
সমাধানঃ
(1.2)x = 100
বা, log1.2(1.2x) = log1.2(100)
[উভয় পাশে log1.2 নিয়ে ]
বা, x.log1.21.2 = log1.2(100)
বা, x.1 = log1.2(100) [যেহেতু, logaa = 1]
বা, x.1 = 25.2585 (প্রায়) [বৈজ্ঞানিক ডিভাইস ব্যবহার
করে]
বা, x = 25.2585 (প্রায়) [Ans]
(iii) 7x = 5
সমাধানঃ
7x = 5
বা, log7(7x) = log7(5)
[উভয় পাশে log7 নিয়ে ]
বা, log7(7x) = log7(5)
বা, x.log77 = log7(5)
বা, x.1 = log7(5) [যেহেতু, logaa = 1]
বা, x.1 = 0.8271 (প্রায়) [বৈজ্ঞানিক ডিভাইস ব্যবহার
করে]
বা, x = 0.8271 (প্রায়) [Ans]
(iv) (2/3)x = 7
সমাধানঃ
(2/3)x = 7
বা, log2/3(2/3x)
= log2/3(7) [উভয় পাশে log2/3 নিয়ে]
বা, log7(7x) = log2/3(7)
বা, x.log77 = log2/3(7)
বা, x.1 = log2/3(7) [যেহেতু, logaa = 1]
বা, x.1 = -4.799 (প্রায়) [বৈজ্ঞানিক ডিভাইস ব্যবহার
করে]
বা, x = -4.799 (প্রায়) [Ans]
4. 10% চক্রবৃদ্ধি মুনাফা হারে চক্রবৃদ্ধি
মূলধন কত বছরে 3 গুণ হবে?
সমাধানঃ
ধরি, প্রারম্ভিক মূলধন =P, চক্রবৃদ্ধি মূলধন A = 3P এবং
চক্রবৃদ্ধি মুনাফার হার r = 10% = 10/100 = 0.1.
সুতরাং সূত্র থেকে আমরা পাই,
3P = P(1 + 0.1)n [চক্রবৃদ্ধির সূত্র A=P(1+r)n মতে]
বা, 3 = (1+0.1)n
বা, 3 = (1.1)n
বা, n = log1.13 ≈ 11.5267
সুতরাং মূলধন প্রায় 11.5267 বছরে দ্বিগুণ হবে।
5. করোনা ভাইরাসের নাম
তোমরা সবাই জানো। এই ভাইরাস দ্রুত ছড়ায়। যদি করোনা ভাইরাস 1 জনের থেকে প্রতিদিন 3
জনে ছড়ায়, তবে 1 জন থেকে 1 মাসে মোট কতোজন করোনা ভাইরাসে আক্রান্ত হবে? কতোদিনে 1
কোটি মানুষ আক্রান্ত হবে?
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
প্রাথমিক আক্রান্তের সংখ্যা = 1
আক্রান্তের হার = প্রতিদিন 3 জন
আক্রান্তের সময়কাল = ১ মাস = ৩০ দিন।
তাহলে,
মোট আক্রান্তের সংখ্যা
= প্রাথমিক আক্রান্তের সংখ্যা × (আক্রান্তের হার)আক্রান্তের
সময়কাল
= 1 × 330 জন
= 205891132094649 জন
আবার, 1 কোটি মানুষ আক্রান্তের ক্ষেত্রে সময়কাল T দিন
হলে,
1×3T = 10000000
বা, 3T = 10000000
বা, log3(3T) = log3(10000000)
[উভয়পক্ষে log3 নিয়ে]
বা, T.log33 = log3(10000000)
বা, T.1 = log3(10000000) [∵logaa= 1]
বা, T = log3(10000000)
বা, T = 14.6713 দিন (প্রায়)
∵ প্রায় 14.6713 দিনে 1 কোটি মানুষ আক্রান্ত হবে।
6. সেতুর চাচার 3 বিঘা জমি
আছে। তিনি তাঁর জমির উর্বরতা ঠিক রাখার জন্য প্রতিবছর 30 কেজি জৈব সার প্রয়োগ
করেন। প্রতি কেজি সারে যদি প্রতি কাঠা জমির উর্বরতা 3% বৃদ্ধি করে, তবে সেতুর
চাচার জমির অবচয় বের করো? তিনি যদি জমিতে সার প্রয়োগ না করতেন, তাহলে কত বছর পরে তাঁর
জমিতে আর কোনো ফসল হবে না?
সমাধানঃ
3 বিঘা = 20×3 কাঠা = 60 কাঠা
ধরি, সার প্রয়োগের আগে প্রতি কাঠা জমির উর্বরতার = P
তাহলে, সার প্রয়োগের পর,
1 কেজি সারের জন্য 1 কাঠার উর্বরতা = P + P×3% = P +
0.03P = 1.03P
∵ 30 কেজি সারের জন্য 30 কাঠার উর্বরতা = 30×1.03P =
30.9P
শর্ত অনুসারে, বাকী 30 কাঠা জমির উর্বরতা বৃদ্ধি পায় না।
সেক্ষেত্রে, এই 30 কাঠার জমির উর্বরতা = 30P
তাহলে,
3 বিঘা বা 60 কাঠা জমির উর্বরতা (সার প্রয়োগের পর) =
30.9P+30P = 60.9P
এবং 3 বিঘা বা 60 কাঠা জমির উর্বরতা (সার প্রয়োগের আগে)
= 60P
এখন যেহেতু সার প্রয়োগ করে জমির উর্বরতা ঠিক রাখা হয়,
সেহেতু 60.9P হলো জমির প্রাথমিক উর্ববরতা এবং সার প্রয়োগ না করলে অর্থাৎ জমির
অবচয়ের ফলে জমির উর্ব্বরতা কমে হয় 60P।
তাহলে, জমির অবচয়ের হার
= (60.9P-60P)/60.9P×100
= 1.4778% (প্রায়)
কত বছর পর আর ফসল হবে না, সেই সময় নির্ণয়ঃ
আমরা জানি, জমির অবচয়ের সূত্রঃ PT = P(1 - R)T
এখানে, P = 60P [যেহেতু সার প্রয়োগ করা যাবে না]
R = 1.4778% (প্রায়)
PT = ?; যেহেতু জমির উর্বরতা 1.4778% হারে কমতে থাকে সেহেতু
PT এর
মান কখনো শূণ্য হবে না। তাই আমরা PT = 0.6P ধরি যা 60P এর থেকে 99% কম।
T = ?, আমাদের নির্ণয় করতে হবে।
বা, 0.6P = 60P(1-1.4778%)T [উপরের প্রাপ্ত তথ্য হতে মান বসিয়ে, এখানে T হলো সময়কাল]
বা, 0.6P/60P = (1-0.014778)T
বা, 0.6/60 = (0.985222)T
বা, 0.01 = (0.985222)T
বা, T = log0.9852220.01
বা, T = 309.315 (প্রায়)
∵ নির্ণেয় সময়কাল = 309 বছর এর বেশি।
7. 1918 সালের 8 জুলাই মৌলভীবাজারের
শ্রীমঙ্গলে যে ভয়াবহ ভূমিকম্প সংঘটিত হয় রিক্টার স্কেলে তার মাত্রা 7.6 এবং 1997
সালের 22 নভেম্বর চট্টগ্রামে যে ভূমিকম্প সংঘটিত হয় যার মাত্রা 6.0 রেকর্ড করা হয়।
শ্রীমঙ্গলের ভূমিকম্পটি চট্টগ্রামের ভূমিকম্পের চেয়ে কতগুণ বেশি শক্তিশালী ছিল?
সমাধানঃ
মনে করি,
I1 = শ্রীমঙ্গলের ভূমিকম্পের তীব্রতা
I2 = চট্রগ্রামের ভূমিকম্পের তীব্রতা এবং
S = আদর্শ ভূমিকম্পের তীব্রতা
সুতরাং, রিক্টার স্কেলে-
শ্রীমঙ্গলের ভূমিকম্পের মাত্রা = log10(I1/S)
এবং
চট্রগ্রামের ভূমিকম্পের মাত্রা= log10(I2/S)
প্রশ্নমতে,
log10(I1/S) = 7.6 ……(i)
log10(I2/S) = 6 …….(ii)
(i) থেকে (ii) বিয়োগ করে পাই,
log10(I1/S) - log10(I2/S)
= 7.6 – 6
বা, (log10I1 - log10S) – (log10I2 - log10S) = 1.6
বা, log10I1 - log10S – log10I2 + log10S = 1.6
বা, log10I1 – log10I2 = 1.6
বা, log10(I1/I2) =
1.6
এই লগারিদমীয় সম্পর্ককে সূচকের মাধ্যমে প্রকাশ করলে
দাঁড়ায়,
101.6 = (I1/I2)
বা, (I1/I2) = 39.8107171
বা, I1 = 39.8107171 × I2
সুতরাং, শ্রীমঙ্গলের ভূমিকম্পটি চট্রগ্রামের ভূমিকম্পের
চেয়ে 39.8107171 গুণ শক্তিশালী ছিল।
8. কোনো এক সময় জাপানে একটি ভূমিকম্প সংঘটিত
হয়, রিক্টার স্কেলে যার মাত্রা 8 রেকর্ড করা হয়। ওই একই বছরে সেখানে আরও একটি
ভূমিকম্প সংঘটিত হয় যা পূর্বের চেয়ে 6 গুণ বেশি শক্তিশালী। রিক্টার স্কেলে পরবর্তী
ভূমিকম্পের মাত্রা কত ছিল?
সমাধানঃ
মনে করি,
I1 = ১ম ভূমিকম্পের তীব্রতা
I2 = ২য় ভূমিকম্পের তীব্রতা এবং
S = আদর্শ ভূমিকম্পের তীব্রতা
সুতরাং, রিক্টার স্কেলে-
১ম ভূমিকম্পের মাত্রা = log10(I1/S)
এবং
২য় ভূমিকম্পের মাত্রা= log10(I2/S)
প্রশ্নমতে,
log10(I1/S) = 8 ……(i)
log10(I2/S) = x [ধরে] …….(ii)
(i) থেকে (ii) বিয়োগ করে পাই,
log10(I1/S) - log10(I2/S)
= 8 – x
বা, (log10I1 - log10S) – (log10I2 - log10S) = 8-x
বা, log10I1 - log10S – log10I2 + log10S = 8-x
বা, log10I1 – log10I2 = 8-x
বা, log10(I1/I2) =
8-x
এই লগারিদমীয় সম্পর্ককে সূচকের মাধ্যমে প্রকাশ করলে
দাঁড়ায়,
108-x = (I1/I2)
বা, (I1/I2) = 108-x
বা, I1 = 108-x × I2 ……….(iii)
কিন্তু শর্ত অনুসারে,
I2 = I1 × 6
বা, I1 = 1/6.I2 ………(iv)
তাহলে, সমীকরণ (iii) ও (iv) হতে পাই,
108-x=1/6
বা, log10(108-x)=log10(1/6)
[উভয় দিকে log10 যোগ করে]
বা, (8-x).log1010 = log10(1/6)
বা, 8-x = log10(1/6)
বা, -x = log10(1/6) –
8
বা, x = 8 - log10(1/6)
= 8 – (-0.77815124951505) = 8.77815125 (প্রায়)
∵ নির্নেয় ভুমিকম্পের মাত্রা = 8.77815125 (প্রায়)
9. 1999 সালের জুলাই মাসে কক্সবাজারের
মহেশখালিতে যে ভূমিকম্প হয় তার মাত্রা রেকর্ড করা হয়েছিল 5.2 এবং 2023 সালের 6
ফেব্রুয়ারি তুরস্কের দক্ষিণাংশে যে ভয়াবহ ভূমিকম্প সংঘটিত হয় তা মহেশখালির
ভূমিকম্পের তীব্রতার চেয়ে 398 গুণ বেশি শক্তিশালী ছিল। তুরস্কের দক্ষিণাংশের
ভূমিকম্পের মাত্রা কত ছিল?
সমাধানঃ
মনে করি,
I1 = তুরস্কের ভূমিকম্পের তীব্রতা
I2 = মহেশখালির ভূমিকম্পের তীব্রতা এবং
S = আদর্শ ভূমিকম্পের তীব্রতা
সুতরাং, রিক্টার স্কেলে-
তুরস্কের ভূমিকম্পের মাত্রা = log10(I1/S)
এবং
মহেশখালির ভূমিকম্পের মাত্রা= log10(I2/S)
প্রশ্নমতে,
log10(I1/S) = x [ধরে] ……(i)
log10(I2/S) = 5.2 …….(ii)
(i) থেকে (ii) বিয়োগ করে পাই,
log10(I1/S) - log10(I2/S)
= x – 5.2
বা, (log10I1 - log10S) – (log10I2 - log10S) = x – 5.2
বা, log10I1 - log10S – log10I2 + log10S = x – 5.2
বা, log10I1 – log10I2 = x – 5.2
বা, log10(I1/I2) = x
– 5.2
এই লগারিদমীয় সম্পর্ককে সূচকের মাধ্যমে প্রকাশ করলে
দাঁড়ায়,
10x-5.2 = (I1/I2)
বা, (I1/I2) = 10x-5.2
বা, I1 = 10x-5.2 × I2 ……….(iii)
কিন্তু শর্ত অনুসারে,
I1 = I2 × 398…….(iv)
তাহলে, সমীকরণ (iii) ও (iv) হতে পাই,
10x-5.2 =398
বা, log10(10x-5.2)=log10(398)
[উভয় দিকে log10 যোগ করে]
বা, (x-5.2).log1010 = log10(398)
বা, x-5.2 = log10(398) [∵logaa=1]
বা, x = log10(398) + 5.2
বা, x = 2.5998830720737 + 5.2 (প্রায়)
বা, x = 7.79988307 (প্রায়)
∵ নির্নেয় ভুমিকম্পের মাত্রা = 7.79988307 (প্রায়)
_001.jpg)
কোন মন্তব্য নেই