বেসিক গণিত সহায়িকা

 

ক্লাস ৩ থেকে উচ্চ মাধ্যমিক পর্যন্ত সকল শ্রেণির গণিত সমাধান কিনুন স্বল্পমূল্যে। যারা চাকরীর পরীক্ষার প্রস্তুতি নিচ্ছেন তাদের জন্য এই ইবুকগুলো খুবই গুরুত্বপূর্ণ।

যেহেতু এই ইবুকগুলোর পিছনে আমাদের প্রচুর সময়, শ্রম ও অর্থ ব্যয় করতে হয়েছে  তাই এগুলো পেইড প্যাকেজের মধ্যেই রাখতে হয়েছে। যদি আমাদের ইবুক ভালো লাগে তাহলে কিনতে পারেন।

সম্পূর্ণ প্যাকেজের মূল্য-১৯৯/- টাকা (pdf only)

২০২৫ সালের নতুন সিলেবাস অনুযায়ী এই সমাধানগুলো পুনরায় পাঠ্য হয়েছে। তাই যারা কোচিং ও টিউশনির সাথে জড়িত আছেন তারা নিজের নামে নোটগুলো প্রচার করতে এডিটেবল ফাইল কিনতে পারেন।

২৯৯/- (DocX file)

অনুগ্রহ করে দামাদামি করবেন না। দাম পছন্দ না হলে মেসেজ দিবেন না।

BUY NOW

Bikash-01974581611

Rocket-019745816116

Nagad-01974581611

                                                                Upay-01974581611 

গণিতের প্রাথমিক আলোচনা

      গণিতের আদি ভূমি- মিশর, ভারতবর্ষ, ব্যাবিলন। '০' সংখ্যাটির জনক আর্যভট্ট। '০' সংখ্যাটির উৎপত্তি ভারতীয় উপমহাদেশে।

      আর্যভট্ট হলেন পাটিগণিতের জনক।

      বীজগণিতের জনক হলেন মু: ইবনে মুসা আল খাওয়ারিজমী।

      জ্যামিতির জনক ইউক্লিড। তিনি ১৩ খন্ডের ‘The elements' বইটি রচনা করেন।

      বলবিদ্যার জনক নিউটন।

      সেটতত্ত্বের জনক ফিলিপ ক্যান্টর।

      গণিতে লগারিদমের জনক জন নেপিয়ার।

      অংক দুই প্রকার: স্বার্থক অংক (১-৯) এবং সাহায্যকারী অংক (০)। স্বার্থক অংকের ধারণা দেন আরবীয়রা (মিশর, ব্যাবিলন)।

      ১-১০০ পর্যন্ত ২৫টি মৌলিক সংখ্যা পাওয়া যায়। মৌলিক সংখ্যার বর্গমূল সর্বদা অমূলদ সংখ্যা।

      ০-১০ পর্যন্ত ৪টি, ১১-২০ পর্যন্ত ৪টি, ২১-৩০ পর্যন্ত ২টি, ৩১-৪০ পর্যন্ত ২টি, ৪১-৫০ পর্যন্ত ৩টি, ৫১-৬০ পর্যন্ত ২টি, ৬১-৭০ পর্যন্ত ২টি, ৭১-৮০ পর্যন্ত ৩টি, ৮১-৯০ পর্যন্ত ২টি, ৯১-১০০ পর্যন্ত ১টি মৌলিক সংখ্যা পাওয়া যায়।

মৌলিক সংখ্যা বের করার সহজ উপায়

মৌলিক সংখ্যাঃ যে সংখ্যাকে ১ এবং সে সংখ্যা ছাড়া অন্য কোন সংখ্যা দ্বারা ভাগ যায় না, তাকে মৌলিক সংখ্যা বলে। অর্থাৎ ১ থেকে বড় যেসব সংখ্যার ১ ও ঐ সংখ্যা ছাড়া অপর কোন গুণনীয়ক থাকে না, তাই হল মৌলিক সংখ্যা। যেমন ২, ৫, ৭, ১১ ইত্যাদি।

১-১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ২৫ টিঃ ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯, ৬১, ৬৭, ৭১, ৭৩, ৭৯, ৮৩, ৮৯, এবং ৯৭।

১-১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যার যোগফল ১০৬০।

১-১০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ৪ টি।

এভাবে ১-১০, ১১-২০... ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা হল ৪,৪,২,২,৩,২,২,৩,২,১ যা মনে রাখতে এভাবে ভাগ করে পড়ুন

৪৪ ২২ ৩২২ ৩২১

Simple টেকনিকঃ শুধু মাত্র ২ ব্যতিত অন্য কোন জোড় সংখ্যা মৌলিক সংখ্যা হবে না। যেমনঃ ১২, ২৮, ৪৫৬।

দুই বা ততোধিক সংখ্যার শেষে ৫ থাকলে সেটি মৌলিক সংখ্যা হবে না। যেমনঃ ৫৫, ২৫, ৬২৪৫ এগুলো ৫ দ্বারা বিভাজ্য।

তাহলে প্রতি ১-১০/১০-২০/২০-৩০ ......ক্রমে ৭টি সংখ্যা থাকে যেগুলো জোড় অথবা শেষে ৫ থাকে এবং সেই সংখ্যা গুলো অমৌলিক বা মৌলিক সংখ্যা হয় নয়। যেমনঃ ২০-৩০ এর মধ্যে২০, ২২, ২৪, ২৫, ২৬, ২৮ এবং ৩০। তাহলে আর বাকি থাকল ২১, ২৩, ২৭ এবং ২৯ এগুলো মৌলিক কিনা তা জানার জন্য নিচের পদ্ধতি অবলম্বন করুন।

মৌলিক সংখ্যা বের করার পদ্ধতিঃ

১ম পদ্ধতিঃ ১-১০ এর মধ্যে যে ৪ টা মৌলিক সংখ্যা আছে, (২,৩,৫,৭) এবং ২,৩,৫,৭ এর যোগফল ১৭ দিয়ে ভাগ না গেলে ঐ সংখ্যাটি মৌলিক সংখ্যা। যেমনঃ ৯৭ কে (২,৩,৫,৭,১৭) দিয়ে ভাগ যায় না, তাই এটি মৌলিক সংখ্যা। কিন্তু ১৬১ কে (২,৩,৫,৭,১৭) এর মধ্যে ৭ দিয়ে ভাগ যায়। তাই ১৬১ মৌলিক সংখ্যা না।

২য় পদ্ধতিঃ যে সংখ্যাটি মৌলিক সংখ্যা কিনা জানতে চাওয়া হবে সেটির ( ) বের করুন। রুট সংখ্যাটির সামনে ও পিছনের মৌলিক সংখ্যাটি দিয়ে ঐ সংখাকে ভাগ যায় কিনা দেখুন। যদি ভাগ যায় তবে মৌলিক সংখ্যা না। যেমন ১৪৩ এর রুট করলে পাওয়া যায় ১১.৯৬। এখানে ১১ নিজে মৌলিক সংখ্যা এবং এর পরের মৌলিক সংখ্যা হল ১৩। এই দুইটি সংখ্যা দিয়ে ১৪৩ কে ভাগ যায়। তাই এটি মৌলিক সংখ্যা নয়।

ফাইনাল পদ্ধতিঃ অর্থাৎ ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭ দিয়ে ভাগ না গেলে বুঝতে হবে সংখ্যাটি মৌলিক সংখ্যা।

বিভাজ্যতা নির্ণয়

বিভাজ্যতা বলতে বুঝায় একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যা দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য কি না। একটু সহজভাবে বলা যায়, একটি সংখ্যাকে যদি অপর একটি সংখ্যা ভাগ করলে ভাগশেষ শূন্য হয়, তবে প্রথম সংখ্যাটি দ্বিতীয় সংখ্যা দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য।

বিভাজ্যতার সূত্রঃ ভাজ্য = ভাজক × ভাগফল + ভাগশেষ।

[যেখানে ভাগশেষ < ভাজক।]

১ এর বিভাজ্যতাঃ- যে কোন সংখ্যাই ১ দিয়ে বিভাজ্য।

২ দ্বারা বিভাজ্যতাঃ- আমরা সবাই জানি যে কোনো জোড় সংখ্যাই ২ দ্বারা বিভাজ্য। অর্থাৎ যে সব সংখ্যা জোড় (২, ৪, ৬, ৮, ১০, ১২, ....) তারাই ২ দিয়ে বিভাজ্য। আরও সহজভাবে বলা যায়, যে সব সংখ্যার শেষ অংক (২, ৪, ৬, ৮, ০)। তারাই ২ দ্বারা বিভাজ্য। যেমনঃ ৫৬৪৮, ৪৫৫৬, ৫৬২৩৫১২ ইত্যাদি।

৩ দ্বারা বিভাজ্যতাঃ কোন সংখ্যার অঙ্কগুলোর যোগফল যদি ৩ দ্বারা বিভাজ্য হয় তাহলে সংখ্যাটিও ৩ দ্বারা বিভাজ্য হবে। যেমন ১৪১ এর ক্ষেত্রে ১+৪+১=৬, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য। তাই ১৪১ সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য।

কিন্তু যেমন ধরুণ ২৩৮ এর ক্ষেত্রে ২+৩+৮=১৩, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়, সুতরাং ২৩৮ তিন দ্বারা অবিভাজ্য। অঙ্কগুলোর যোগফল বেশি বড় হয়ে গেলে (যদি যোগফল দেখে একবারে বোঝা না যায়) যোগফলের জন্যই আবার নিয়মটি প্রয়োগ করুন।

ধরে নিলাম যোগফল আবার অনেক বড় সংখ্যা হল। তখন যোগফলের অংক গুলো যোগ করে আবার দেখলে পাওয়া যাবে তা ৩ দিয়ে বিভাজ্য কি না। সহজ একটি উদাহরন দেয়া যাক। ১৭৬০৭৯৩৭৬২৭৫ সংখ্যাটির অংক গুলোর যোগফল হচ্ছে ৬০। এখন ৬০ এর অংকগুলোর যোগফল (০+৬) = ৬, - যা ৩ দিয়ে বিভাজ্য। সুতরাং ১৭৬০৭৯৩৭৬২৭৫ সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য। এরকম আরো অনেক উদাহরন করলে দেখা যাবে কাজটি অনেক সহজ।যেমনঃ ২০৮৭১১২, ৫৯২৩৮ ইত্যাদি।

৪ দ্বারা বিভাজ্যতাঃ একটি সংখ্যা ৪ দিয়ে বিভাজ্য কি না তা দেখতে হলে সংখ্যাটির শেষ ২ টা অংক ৪ দিয়ে বিভাজ্য কি না তা চেক করতে হবে।অর্থাৎ কোন সংখ্যার দশক ও এককের ঘরের অঙ্ক নিয়ে গঠিত সংখ্যা ৪ দিয়ে বিভাজ্য হলে সংখ্যাটিও ৪ দ্বারা বিভাজ্য হবে। যেমন ১১৬ এর ক্ষেত্রে ১৬, যা ৪ দিয়ে বিভাজ্য, তাই ১১৬ ও ৪ দিয়ে বিভাজ্য। আবার ৫৬০ এর ৬০ যেহেতু ৪ দিয়ে বিভাজ্য, তাই ৫৬০ ও বিভাজ্য।

৫ দ্বারা বিভাজ্যতাঃ এটাও আমরা সবাই ভালো করেই জানি এবং কাজে লাগাই। সংখ্যার এককের ঘরের অঙ্ক ০ বা ৫ হলে সেই সংখ্যা ৫ দ্বারা বিভাজ্য। যেমনঃ ১০৫, ৩০৬০, ৯৬৫ ইত্যাদি।

৬ দ্বারা বিভাজ্যতাঃ ৬ সংখ্যাটি ২ এবং ৩ এর গুণফল। তাই যে সংখ্যা ২ ও ৩ উভয় সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য হবে, সেটাই ৬ দ্বারা বিভাজ্য হবে। আরো সহজ করে বললে, সংখ্যাটি হবে জোড় এবং অঙ্কগুলোর যোগফল তিন দ্বারা বিভাজ্য হবে। জোড় না হলেই বাদ! জোড় হলেই শুধু তিন এর পরীক্ষা -ব্যাস!

অর্থাৎ ২ ও ৩ এর বিভাজ্যতা চেক করতে হবে। অর্থাৎ সংখ্যাটি যদি জোড় হয় এবং সংখ্যাটি যদি ৩ দ্বারা বিভাজ্য হয় তবেই সংখ্যাটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য। যেমন, ১২০ একটি জোড় সংখ্যা এবং তিন দ্বারা বিভাজ্য (কারণ ১+২+০=৩), তাই ১২০ ৬ দ্বারা বিভাজ্য। একইভাবে, ৭৮০ জোড় সংখ্যা এবং ৭+৮+০=১৫, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য, তাই ৭৮০, ৬ দ্বারা বিভাজ্য।

৭ দ্বারা বিভাজ্যতাঃ এককের অঙ্ককে বর্গ করে সংখ্যাটির বাকী অংশ থেকে বিয়োগ দিন। ভাগফল ৭ দ্বারা ভাগযোগ্য হলেই কাঙ্খিত ফলাফল পাওয়া যাবে!

যেমন, ৬৭২ হলে ৬৭-৪=৬৩। সুতরাং  = ৯। সংখ্যাটি বড় হলে একই প্রক্রিয়ার পুনরাবৃত্তি করা যাবে। যেমন, ৪৫১৭৮ হলে ৪৫১৭-৬৪=8৪৫৩। আবার ৪৪৫-৯ = ৪৩৬, পুনরায় ৪৩-৩৬ = ৭ যা কাঙ্খিত। অথবাঃ সংখ্যাটির প্রতিটি অংকের ক্ষেত্রে ভাগশেষের সাথে ৩ গুন করে প্রতিটি অংকের সাথে যোগ করে যোগফলকে ৭ দিয়ে ভাগ করে ভাগশেষ নির্নয় করতে হবে। সর্বশেষ ভাগশেষ যদি ০ হয় তবেই সংখ্যাটি ৭ দিয়ে বিভাজ্য।

৮ দ্বারা বিভাজ্যতাঃ কোন সংখ্যার সর্বশেষ তিন অঙ্কের সমন্বয়, মানে শতক, দশক ও এককের অঙ্কের সমন্বয় যদি ৮ দ্বারা বিভাজ্য হয়, তাহলে ঐ সংখ্যাটি ৮ দ্বারা বিভাজ্য হয়।

অর্থাৎ কোন সংখ্যা যদি ৩ বা তার চেয়ে বেশি অংক বিশিষ্ট হয় তবে ৮ দিয়ে বিভাজ্যতা চেক করতে শুধুমাত্র শেষ ৩ অংক চেক করতে হবে তা ৮ দিয়ে বিভাজ্য কি না। যদি শেষ ৩ অংক ৮ দিয়ে বিভাজ্য হয় তবেই সংখ্যাটি ৮ দিয়ে বিভাজ্য।

যেমন ৯৬৪০ আট দ্বারা বিভাজ্য কারণ  = ৮০। তবে এ প্রক্রিয়া ঝামেলাপূর্ণ মনে হতে পারে। কিন্তু ,মনে করুন আপনার কাছে আছে একটি বিশাল সংখ্যা - ২০,২৩৩,৩২২,৪৯৬ এখন ৪৯৬ কেই ৮ দ্বারা ভাগ দিলেই আপনি বুঝে ফেলবেন রহস্য!

৯ দ্বারা বিভাজ্যতাঃ তিন এর নিয়মের মতোই অঙ্কগুলোর যোগফল ৯ দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে। যেমন ৭২১৮ এর জন্য ৭ + ২ + ১ + ৮ = ১৮ যা ৯ দিয়ে ভাগযোগ্য। ১০,০০৬,৪৭০ এর জন্য ১ + ৬ + 8 + ৭ = ১৮, ফলে এটি ৯ দ্বারা বিভাজ্য হতে বাধ্য।

১০ দ্বারা বিভাজ্যতাঃ এটাও সবার জানা এবং মানা (মানে মানা হয়)। অর্থ্যাৎ এককের ঘরে ০ থাকতে হবে তবুও নিরস উদাহরণ দিচ্ছি- ১১০, ৭৬০, ১০০৩৭৭৩০ ইত্যাদি।

১১ দ্বারা বিভাজ্যতাঃ ১১ এর পরীক্ষায় পাস করতে হলে সংখ্যাটির একটার পর একটা পর্যায়ক্রমিক সংখ্যার যোগফল ও বাকী সংখ্যাগুলোর যোগফলের পার্থক্য ১১ দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে। অস্পষ্ট লাগলে উদাহরণে পরিষ্কার হয়ে যাবে। যেমন ১০৮২৪ এর জন্যে (১ + ৮ + ৪) -(০ + ২) = ১৩ – ২ = ১১। ফলে, ১০,৮২৪ এগার দিয়ে বিভাজ্য। একইভাবে- ২৫, ৭৮৪ এর ক্ষেত্রে- ( ২ + ৭ + ৪) - (৫ + ৮) = ১৩ - ১৩০। আর ০ ও তো ১১ দিয়ে ভাগ যায় (০ বার!)।

বাস্তব সংখ্যা

স্বাভাবিক সংখ্যা (Natural Number): যে সমস্ত সংখ্যা দিয়ে কোনো বস্তু গণনা করা হয়, সেগুলি হল স্বাভাবিক সংখ্যা। স্বাভাবিক সংখ্যা গুলিকে ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা বলে। যেমন 1 , 2 , 3 , 4 ,...............ইত্যাদি। স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যে সবচেয়ে ছোট হল 1. স্বাভাবিক সংখ্যার সেটকে সাধারণ ভাবে N চিহ্ন দিয়ে প্রকাশ করা হয়। সুতরাং N = { 1 , 2 , 3 , ..............65 , ..........135 , ...............} . এই সংখ্যার সেট থেকে দেখা যাচ্ছে স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যে সবচেয়ে বড়ো সংখ্যাটি কল্পনা করা যায় না।

দুটি স্বাভাবিক সংখ্যা যোগ করলে একটি স্বাভাবিক সংখ্যা পাওয়া যায়। যেমন 1 + 2 = 3, 3 + 4 = 7 , 3 + 4 + 5 = 12 ইত্যাদি। দুই এর বেশি স্বাভাবিক সংখ্যা যোগ করলেও একটি স্বাভাবিক সংখ্যা পাওয়া যায়।

একই ভাবে দুটি এর বেশি স্বাভাবিক সংখ্যা গুণ করলেও স্বাভাবিক সংখ্যা পাওয়া যায়। সুতরাং যোগ ও গুণের সাপেক্ষে স্বাভাবিক সংখ্যা বদ্ধ। কিন্তু দুটি স্বাভাবিক সংখ্যার বিয়োগফল সবসময় একটি স্বাভাবিক সংখ্যা নাও হতে পারে। যেমন 3 - 2 = 1 এটি স্বাভাবিক সংখ্যা কিন্তু 2 - 4 = -2 এটি স্বাভাবিক সংখ্যা নয়।

একইভাবে দুটি স্বাভাবিক সংখ্যার ভাগফল সর্বদা স্বাভাবিক সংখ্যা নাও হতে পারে। যেমন 42=242=2 এটি একটি স্বাভাবিক সংখ্যা কিন্তু 64 = 3264 = 32 এটি স্বাভাবিক সংখ্যা নয়।

স্বাভাবিক সংখ্যার ধর্ম

উপরের আলোচনা থেকে স্বাভাবিক সংখ্যার যে ধর্ম গুলি পাই তা হল

a + b = b + a [যোগের বিনিময় নিয়ম]

(a + b) + c = a + ( b + c ) [যোগের সংযোগ নিয়ম]

ab = ba [ গুণের বিনিময় নিয়ম ]

(ab) c = a (bc) [ গুণের সংযোগ নিয়ম ]

a (b+ c) = ab + ac অতএব (a + b) c = ac + bc [বিচ্ছেদ নিয়ম]

এখানে a, b এবং c হল স্বাভাবিক সংখ্যা। সুতরাং স্বাভাবিক সংখ্যা বিনিময়, সংযোগ ও বিচ্ছেদ নিয়ম সিদ্ধ।

'0' কি স্বাভাবিক সংখ্যা?

'0' স্বাভাবিক সংখ্যা নয়। কেবল শূন্য দিয়ে কোনো বস্তু গণনা করা যায় না। কোনো সংখ্যাকে শূন্য দিয়ে যোগ করলে সেই সংখ্যার কোনো পরিবর্তন হয় না। বিপরীতভাবে শূন্যের সঙ্গে কোনো সংখ্যা যোগ করলে সেই সংখ্যাটি পাওয়া যায়। যেমন 2 + 0 = 2, 0 + 5 = 5 ইত্যাদি।

কোনো সংখ্যা থেকে শূন্য বিয়োগ করলে সেই সংখ্যাটি পাওয়া যায়। কিন্তু শূন্য থেকে কোনো সংখ্যা বিয়োগ করলে সেই সংখ্যাটি ধনাত্মক থেকে ঋণাত্মক হয়ে যায়। 2 - 0 = 2, 6 - 0 = 6, 0 - 4 = -4, 0 - 7 = -7 ইত্যদি।

যেকোনো সংখ্যাকে শূন্য দিয়ে গুণ করলে শূন্য হয়। অনুরূপভাবে শূন্য কে কোনো সংখ্যা দিয়ে গুণ করলেও শূন্য হয়। যেমন 2×0=0, 7×0=0, 0×5=0 ইত্যাদি।

শূন্য কে যেকোনো সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল শূন্য পাওয়া যায়। কিন্তু শূন্য দিয়ে কোনো সংখ্যাকে ভাগ করা যায় না। কারণ শূন্য দিয়ে কোনো সংখ্যাকে ভাগ করলে তার মান হয় অর্থহীন।

যেমন 0÷2=0, 0÷6=0, 6÷0= 0

উপরের আলোচনা থেকে দেখা যাচ্ছে শূন্য স্বাভাবিক সংখ্যার ধর্ম গুলিকে সিদ্ধ করে না।

শূন্যের এই গাণিতিক গুণাবলী সূত্রাকারে লিপিবদ্ধ করলে হয়,

a + 0 = a

0 + a = a

0 + 0 = 0

a - 0 = 0

0 - a = -a

a×0=0

0×a=0

0×0=0

মনে রাখতে হবে শূন্যই একমাত্র পূর্ণসংখ্যা যা ধনাত্মক বা ঋণাত্মক কোনোটিই নয় ।

অখন্ড সংখ্যা (Whole number) : শূন্য ( 0 ) এবং সমস্ত স্বাভাবিক সংখ্যাকে অখন্ড সংখ্যা বলে। এই সংখ্যা গুলি হল 0 , 1 , 2 , 3 , ............. ইত্যাদি। যেকোনো অখন্ড সংখ্যার সাথে 1 যোগ করলে পরবর্তী অখন্ড সংখ্যা পাওয়া যায়। অখন্ড সংখ্যার সেট কে W চিহ্ন দিয়ে প্রকাশ করা হয়। অতএব

W = { 0 , 1 , 2 , 3 , .................100 , ...........225 ,.............}

পূর্ণসংখ্যা (Integer) : অখন্ড সংখ্যা ও 0 , -1 , -2 , -3 , ............ সংখ্যা মিলিত হয়ে যে সংখ্যার দল বা সংখ্যার সেট তৈরি করে তাকে পূর্ণসংখ্যা বলে। পূর্ণসংখ্যার দলকে সাধারণ ভাবে Z চিহ্ন দ্বারা প্রকাশ করা হয়। অতএব

Z = { .................-5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3,.................}

0 অপেক্ষা বড়ো সংখ্যা গুলিকে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা (Positive Integer) ও 0 অপেক্ষা ছোট সংখ্যা গুলিকে ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা (Negative Integer) বলে।

মূলদ সংখ্যা (Rational Number): যে সংখ্যাকে দুটি পূর্ণ সংখ্যার ভগ্নাংশরূপে প্রকাশ করা যায় , তাকে মূলদ সংখ্যা বলে। যদি p এবং q দুটি অখণ্ড সংখ্যা হয় , এমন p এবং q সংখ্যা দুটি পরস্পর মৌলিক অর্থাৎ 1 ছাড়া কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই এবং q≠0q≠0 তবে pqpq আকারের সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা বলে। মূলদ সংখ্যার দলকে সাধারণ ভাবে Q দ্বারা প্রকাশ করা হয়। অতএব

Q = {pqpq; p এবং q পূর্ণসংখ্যা q≠0q≠0}

সকল পূর্ণসংখ্যা মূলদ সংখ্যা।

সমতুল্য মূলদ সংখ্যা (Equivalent rational number) বা সমতুল্য ভগ্নাংশ (Equivalent fraction)

মনে করি 610, 1220, 915, 610, 1220,915, ভগ্নাংশ গুলি সবাই 3535 এর সঙ্গে সমান বা এর সমতুল্য, তাই এদেরকে সমতুল্য মূলদ সংখ্যা বা সমতুল্য ভগ্নাংশ বলে।

অমূলদ সংখ্যা (Irrational number)

আমরা দেখেছি যে সকল সংখ্যাকে pqpq আকারে প্রকাশ করা যায় যেখানে p এবং q পূর্ণসংখ্যা এবং q≠0q≠0 তাদের সকলকে মূলদ সংখ্যা বলে এবং এই সংখ্যা গুলিকে আমরা সংখ্যা অক্ষে স্থাপন করেছি। কিন্তু বাকি সংখ্যা অর্থাৎ যে সমস্ত সংখ্যাকে pqpq আকারে প্রকাশ করা যায়না যেখানে p এবং q পূর্ণসংখ্যা এবং q≠0q≠0 তাদের কে কী বলব?

যে সকল সংখ্যাকে pqpq আকারে প্রকাশ করা যায়না যেখানে p এবং q পূর্ণসংখ্যা এবং q≠0q≠0 তাদেরকে অমূলদ সংখ্যা (Irrational number ) বলা হয়।

যেমন: ,..........2,3,43,5,.......... ইত্যাদি।

গ্রিসের দার্শনিক ও গণিতজ্ঞ পিথাগোরাসের অনুগামীরা প্রায় 400 BC তে প্রথম অমূলদ সংখ্যার ধারণা দেন। তাঁরা সংখ্যা রেখার মূলদ সংখ্যা ছাড়াও আরও সংখ্যার অস্তিত্ব অনুভব করেন। পরবর্তীকালের বিশিষ্ট গণিতজ্ঞগণ বিভিন্ন অমূলদ সংখ্যার ধারণা দিয়েছেন এবং অমূলদ সংখ্যার সন্ধান এখনো চলেছে।

প্রমাণ করে দেখা যাক 2–  একটি অমূলদ সংখ্যা

প্রমাণ : মনে করি 2–  একটি মূলদ সংখ্যা অর্থাৎ 2–  কে pqpq আকারে প্রকাশ করা যায়। যেখানে p ও q দুটি অখন্ড সংখ্যা এবং পরস্পর মৌলিক এবং q≠0q≠0.

অতএব p² = 2q²p² = 2q²

এখন ডানপক্ষ যেহেতু 2 এর গুণিতক তাহলে বামপক্ষ অবশ্যই 2 এর গুণিতক হবে। অতএব p²p² বা p অবশ্যই একটি জোড় সংখ্যা।

ধরি p = 2r

তাহলে,

p2 =2q²

⇒ (2r)² = 2q²

⇒4r² = 2q²

⇒q² = 2r²p² = 2q²

⇒(2r)² = 2q²

⇒4r² = 2q²

⇒q² = 2r²

এখন দেখা যাচ্ছে q একটি জোড় সংখ্যা। অর্থাৎ এর থেকে বোঝা যাচ্ছে p এবং q উভয়েই জোড়সংখ্যা। তাদের মধ্যে একটি সাধারণ উৎপাদক হল 2. কিন্তু আমরা প্রথমেই ধরে ছিলাম p এবং q পরস্পর মৌলিক। সুতরাং 2–  একটি মূলদ সংখ্যা এই ধারণাটি ভুল। অতএব প্রমাণিত 2–  একটি অমূলদ সংখ্যা।

একটি মূলদ এবং একটি অমূলদ সংখ্যার যোগফল সর্বদা একটি অমূলদ সংখ্যা হবে।

দুটি অমূলদ সংখ্যার গুণফল কখনো অমূলদ বা কখনো মূলদ হতে পারে।

বাস্তব সংখ্যা (Real Number): মূলদ সংখ্যার সাথে অমূলদ সংখ্যা গুলিকে একত্রিত করে যে সকল সংখ্যা পাওয়া যায়, তাদের বাস্তব সংখ্যা বলে। বাস্তব সংখ্যার দলকে R চিহ্ন দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

বাস্তব সংখ্যা অত্যন্ত নিবিড়। এদের মধ্যে কোনো ফাঁক থাকে না। বাস্তব অক্ষের উপরে অবস্থিত প্রতিটি বিন্দু বাস্তব সংখ্যাকে প্রকাশ করে। এগুলি প্রতিটি বাস্তব বিন্দু। মূলদ সংখ্যাও নিবিড় কিন্তু এরা যথেষ্ট নিবিড় নয়। দুটি মূলদ সংখ্যার মধ্যে ফাঁক বর্তমান। সংখ্যা অক্ষের উপরে দুটি মূলদ বিন্দুর মাঝে অনেক বিন্দু থেকে যারা মূলদ বিন্দু নয়। ওই বিন্দুগুলিকে অমূলদ বিন্দু বলে।

যে কোনো বাস্তব সংখ্যার সাংখ্যমান হল তার পরমমান। বাস্তব সংখ্যার সাংখ্যমান কখনো ঋণাত্মক হয়না। যদি কোনো বাস্তব সংখ্যা a হয় তবে তার পরমমান।a। চিহ্ন দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

বাস্তব সংখ্যার ধর্ম

দুটি বাস্তব সংখ্যার যোগফল, বিয়োগফল, ভাগফল ও গুণফল সর্বদা একটি বাস্তব সংখ্যা হবে।

বাস্তব সংখ্যার গণিতের সাধারণ সূত্র বিনিময়, সংযোগ, বিচ্ছেদ সূত্র সিদ্ধ করে।

মৌলিক সংখ্যা কাকে বলে?

যে সংখ্যাকে ১ এবং সে সংখ্যা ছাড়া অন্য কোন সংখ্যা দ্বারা ভাগ যায় না, তাকে মৌলিক সংখ্যা বলে। অর্থাৎ ১ থেকে বড় যেসবসংখ্যার ১ ও ঐ সংখ্যা ছাড়া অপর কোন গুণনীয়ক থাকে না, তাই হল মৌলিক সংখ্যা। যেমন ২, ৫, ৭, ১১ ইত্যাদি। আবার, যে সংখ্যার কেবলমাত্র দুইটি পৃথক গুনণীয়ক (উৎপাদক) আছে এবং তা হল ১ এবং ঐ সংখ্যাটি নিজে তাকে মৌলিক সংখ্যা বলে। মৌলিক সংখ্যা নির্ণয় এর প্রথাগুলি আজ জানবো।

একটি উদাহরণ এর মাধ্যমে বিষয়টি বুঝে নেওয়া যাক: ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯ ইত্যাদি মৌলিক সংখ্যা। কারণ:

২ = ১ x ২

৩ = ১ x ৩

৫ = ১ x ৫

৭ = ১ x ৭

১১ = ১ x ১১

১৩ = ১ x ১৩

১৭ = ১ x ১৭

১৯ = ১ x ১৯

উল্লেখিত সংখ্যাগুলোর প্রত্যেকটির কেবলমাত্র দুইটি পৃথক গুণনীয়ক আছে যার একটি ১ ও অপরটি ঐ সংখ্যাটি নিজে। তাই সংখ্যাগুলো মৌলিক সংখ্যা।

৪, ৬, ২৪ ইত্যাদি সংখ্যাগুলো মৌলিক সংখ্যা নয়।কারণ:

৪ = ১ x ৪ = ২ x ২ [৪ এর গুণনীয়ক তিনটি। যথা: ১, ২, ৪]

৬ = ১ x ৬ = ২ x ৩ [৬ এর গুণনীয়ক চারটি। যথা: ১, ২, ৩, ৬]

২৪ = ১ x ২৪ = ২ x ১২ = ৩ x ৮ = ৪ x ৬ [২৪ এর গুণনীয়ক আটটি। যথা: ১, ২, ৩, ৪, ৬, ৮, ১২, ২৪]

⇒ এক থেকে একশো (1-100) পর্যন্ত কতগুলি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে?

১-১০০ এর মৌলিক সংখ্যার যোগফল -১০৬০

১-১০০ এর মধ্যকার সংখ্যার যোগফল -৫০৫০

১-১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা মোট ২৫ টি। এগুলি হল- ২,৩,৫,৭,১১,১৩,১৭,১৯,২৩,২৯,৩১,৩৭,৪১,৪৩,৪৭,৫৩,৫৯,৬১,৬৭,৭১,৭৩,৭৯,৮৩,৮৯, এবং ৯৭।

⇒ ১-১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা তালিকা

১ থেকে ১০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ০৪ টি (২,৩,৫,৭)

১১ থেকে ২০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ০৪ টি (১১,১৩,১৭,১৯)

২১ থেকে ৩০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ০২ টি (২৩,২৯,)

৩১ থেকে ৪০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ০২ টি(৩১,৩৭)

৪১ থেকে ৫০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ০৩ টি (৪১,৪৩,৪৭)

৫১ থেকে ৬০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ০২ টি(৫৩,৫৯)

৬১ থেকে ৭০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ০২ টি(৬১,৬৭)

৭১ থেকে ৮০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ০৩ টি (৭১,৭৩,৭৯)

৮১ থেকে ৯০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ০২ টি (৮৩,89)

৯১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ০১ টি(৯৭)

মৌলিক সংখ্যা নির্ণয়⇒ মৌলিক সংখ্যা কাকে বলে?⇒ এক থেকে একশ (1-100) পর্যন্ত কতগুলি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে?⇒ ১-১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা তালিকা⇒ ১-১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা মনে রাখার উপায়-⇒ মৌলিক সংখ্যা সম্পর্কিত কিছু কথা:⇒ এরাটোস্থিনিস ছাঁকনির সাহায্যে ১-১০০ মৌলিক সংখ্যা নির্ণয়

৪, ৬, ২৪ ইত্যাদি সংখ্যাগুলো মৌলিক সংখ্যা নয়।কারণ:

৪ = ১ x ৪ = ২ x ২ [৪ এর গুণনীয়ক তিনটি। যথা: ১, ২, ৪]

৬ = ১ x ৬ = ২ x ৩ [৬ এর গুণনীয়ক চারটি। যথা: ১, ২, ৩, ৬]

২৪ = ১ x ২৪ = ২ x ১২ = ৩ x ৮ = ৪ x ৬ [২৪ এর গুণনীয়ক আটটি। যথা: ১, ২, ৩, ৪, ৬, ৮, ১২, ২৪]

⇒ এক থেকে একশো (1-100) পর্যন্ত কতগুলি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে?

১-১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা মোট ২৫ টি। এগুলি হল- ২,৩,৫,৭,১১,১৩,১৭,১৯,২৩,২৯,৩১,৩৭,৪১,৪৩,৪৭,৫৩,৫৯,৬১,৬৭,৭১,৭৩,৭৯,৮৩,৮৯, এবং ৯৭।

⇒ ১-১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা তালিকা

১ থেকে ১০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ০৪ টি (২,৩,৫,৭)

১১ থেকে ২০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ০৪ টি (১১,১৩,১৭,১৯)

২১ থেকে ৩০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ০২ টি (২৩,২৯,)

৩১ থেকে ৪০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ০২ টি(৩১,৩৭)

৪১ থেকে ৫০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ০৩ টি (৪১,৪৩,৪৭)

৫১ থেকে ৬০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ০২ টি(৫৩,৫৯)

৬১ থেকে ৭০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ০২ টি(৬১,৬৭)

৭১ থেকে ৮০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ০৩ টি (৭১,৭৩,৭৯)

৮১ থেকে ৯০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ০২ টি (৮৩,89)

৯১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ০১ টি(৯৭)

মনে রাখুন-

১-১০০ এর মৌলিক সংখ্যার যোগফল -১০৬০

১-১০০ এর মধ্যকার সংখ্যার যোগফল -৫০৫০

⇒ ১-১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা মনে রাখার উপায়-

মনে রাখার সুবিধার্থে : ৪৪২২৩২২৩২১ ফোন নাম্বার হিসেবে মনে রাখুন।

⇒ মৌলিক সংখ্যা সম্পর্কিত কিছু কথা:

১। ২ হল একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা। অন্যান্য জোড় সংখ্যাগুলো মৌলিক সংখ্যা নয়। অর্থাৎ ২ অপেক্ষা বড় সকল জোড় সংখ্যা মৌলিক সংখ্যা নয়। ২ হল ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা।

২। ৩ মৌলিক সংখ্যা। কিন্তু ৩ দ্বারা বিভাজ্য অন্যান্য সংখ্যা মৌলিক সংখ্যা নয়।

৩ দ্বারা বিভাজ্যতা নির্ণয়:

কোনো সংখ্যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য কিনা তা নির্ণয় করতে হলে যা জানতে হবে তা হল “কোনো সংখ্যার অংকগুলোর যোগফল ৩ দ্বারা বিভাজ্য হলে ঐ সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য হয়”।

৩। ৫ একটি মৌলিক সংখ্যা। অন্যান্য যেসকল সংখ্যার শেষে ৫ আছে সেগুলো মৌলিক সংখ্যা নয়। অর্থাৎ ৫ অপেক্ষা বড় যেসকল সংখ্যার শেষে ৫ আছে সেকল সংখ্যা মৌলিক সংখ্যা নয়।

৪। ০ ও ১ মৌলিক সংখ্যা নয় । ০ ও ১ ছাড়া বাকি সকল সংখ্যা হয় মৌলিক সংখ্যা নয়তো যৌগিক সংখ্যা। যেসকল সংখ্যার দুইয়ের অধিক গুণনীয়ক আছে তাকে যৌগিক সংখ্যা বলে। ০ ও ১ মৌলিক সংখ্যাও নয় আবার যৌগিক সংখ্যাও নয়।

⇒ এরাটোস্থিনিস ছাঁকনির সাহায্যে ১-১০০ মৌলিক সংখ্যা নির্ণয়

এরাটোস্থিনিস (Eratosthenes) ছাঁকনির সাহায্যে সহজেই মৌলিক সংখ্যা নির্ণয করা যায়। এর সাহায্যে ১ খেকে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো বের করা হল। এই পদ্ধতিতে প্রথমে ১ বাদ দেয়া হয়। কারন ১ মৌলিক সংখ্যা নয়। এরপর ২, ৩, ৫, ৭ মৌলিক সংখ্যাগুলোকে রেখে এসকল সংখ্যার অন্যান্য গুণিতকগুলো বাদ দেয়া হয়। উল্লেখ্য, ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে মোট ২৫টি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে।